Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
, e com
, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as raízes indiciais são duplas, sendo necessário calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos três procedimentos abordados na seção 2.2.3):
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral, em forma de série de Frobenius centrada em
(ponto singular regular), para a equação
supondo
. Vamos usar o método de Frobenius:
-
assumir
-
encontrar a equação indicial (raízes
), -
obter a recorrência para os coeficientes
, -
escrever a primeira solução
, -
obter a segunda solução
via redução de ordem (já que as raízes são duplas).
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
Para agrupar termos em
fazemos no segundo somatório a mudança
. Isto leva à condição para todo
:
O termo de menor potência (
) dá a equação indicial:
cuja única raiz (dupla) é
Passo 3
Para
o fator
fica
A recorrência então é, para
,
Como só ligamos
a
, temos duas cadeias: uma com
e outra com
. Para a solução regular em
fazemos
e escolhemos
arbitrário.
Passo 4
Para a cadeia par
, usando
livre,
Logo a primeira solução é
Passo 5
Como a raiz
é dupla, a segunda solução
pode ser obtida por redução de ordem:
Este integral gera um termo com
mais uma série em potências pares de
.
Passo 6
Sem fazer todo o cálculo do integral, sabemos que a segunda solução terá a forma
onde
é o
-ésimo número harmónico.
Resposta
A solução geral para
é
onde