Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as raízes indiciais diferem por um número inteiro não-nulo, correspondendo à menor delas a solução geral):
(d)
(d)
Passo 1
Estamos diante da equação de Euler–Cauchy
que tem
como ponto singular regular. Para resolvê-la pelo método de Frobenius, vamos buscar uma solução da forma
onde
é o expoente indicial e
são coeficientes a determinar.
Passo 2
Compute as derivadas em série:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
O coeficiente de
(termo de menor potência, com
) deve ser zero:
Passo 4
Para os demais
temos a condição de recorrência
Se escolhermos o menor expoente
, o fator
anula o parêntese só quando
. Logo
- para
tem-se , logo ; - para
o coeficiente é livre, digamos .
Assim a série com
só tem dois termos não-nulos:
Chamando
e
, essa combinação já é a solução geral.