Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
de cada uma das seguintes EDOs (cujas raízes indiciais correspondentes, informa-se, não difere por um número inteiro):
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral, sob a forma de série de Frobenius centrada em
, da EDO
Aqui
é ponto singular regular, e como as raízes indiciais não diferem por inteiro, teremos duas séries independentes com expoentes
e
.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Então
Substituindo em
temos
Reescrevendo o último somatório para igualar o expoente
:
Agrupando tudo como série em
obtemos o termo para
(equação indicial) e para
(recorrência).
Passo 3
Coeficiente de
(caso
) dá a equação indicial:
Portanto as raízes são
Passo 4
Para
, o coeficiente de
leva a
Como
a relação de recorrência fica
Passo 5
Isso gera duas séries:
- Para
, tomamos e
logo
- Para
, escolhemos e
logo
Resposta
A solução geral é
onde