Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular x=0 de cada uma das seguintes EDOs (cujas raízes indiciais correspondentes, informa-se, não difere por um número inteiro):
(d) 3 x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral, sob a forma de série de Frobenius centrada em x=0, da EDO
3x\,y''+2y'-4y=0.
Aqui x=0 é ponto singular regular, e como as raízes indiciais não diferem por inteiro, teremos duas séries independentes com expoentes r_1 e r_2.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+r},\quad a_0\neq0.
Então
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_n\,x^{n+r-1},\quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)\,a_n\,x^{n+r-2}.
Substituindo em 3x\,y''+2y'-4y=0 temos
3x\sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2} +2\sum_{n=0}^\infty(n+r)a_nx^{n+r-1} -4\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}=0.
Reescrevendo o último somatório para igualar o expoente x^{n+r-1}:
-4\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}\,x^{n+r-1}.
Agrupando tudo como série em x^{n+r-1} obtemos o termo para n=0 (equação indicial) e para n\ge1 (recorrência).

Passo 3

Coeficiente de x^{r-1} (caso n=0) dá a equação indicial:
3r(r-1)a_0+2r\,a_0=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(3r-1)=0.
Portanto as raízes são
r_1=0,\qquad r_2=\tfrac13.

Passo 4

Para n\ge1, o coeficiente de x^{n+r-1} leva a
\bigl[3(n+r)(n+r-1)+2(n+r)\bigr]a_n-4\,a_{n-1}=0.
Como
3(n+r)(n+r-1)+2(n+r)=(n+r)\bigl[3(n+r)-1\bigr],
a relação de recorrência fica
a_n=\frac{4\,a_{n-1}}{(n+r)\bigl[3(n+r)-1\bigr]}, \qquad n\ge1.

Passo 5

Isso gera duas séries:
  1. Para r=0, tomamos a_0=1 e
a_n=\frac{4\,a_{n-1}}{n\,(3n-1)},
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y_1(x) =\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n =1+\sum_{n=1}^\infty\Bigl[\prod_{k=1}^n\frac{4}{k\,(3k-1)}\Bigr]x^n.
  1. Para r=\tfrac13, escolhemos a_0=1 e
a_n=\frac{4\,a_{n-1}}{(n+\tfrac13)\bigl[3(n+\tfrac13)-1\bigr]} =\frac{4\,a_{n-1}}{n\,(3n+1)},
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y_2(x) =x^{\tfrac13}\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n =x^{\tfrac13}\Bigl[1+\sum_{n=1}^\infty\bigl(\prod_{k=1}^n\frac{4}{k\,(3k+1)}\bigr)x^n\Bigr].

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x),
onde
y_1(x)=\sum_{n=0}^\infty\Bigl[\prod_{k=1}^n\frac{4}{k\,(3k-1)}\Bigr]x^n, \quad y_2(x)=x^{\tfrac13}\sum_{n=0}^\infty\Bigl[\prod_{k=1}^n\frac{4}{k\,(3k+1)}\Bigr]x^n.

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