Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
de cada uma das seguintes EDOs (cujas raízes indiciais correspondentes, informa-se, não difere por um número inteiro):
(c)
(c)
Passo 1
Temos a equação
que apresenta ponto singular regular em
. Para obter a solução geral vamos usar o método de Frobenius, isto é, assumir uma solução da forma
determinar a equação indicial para encontrar os possíveis
e em seguida obter a relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Calculamos as derivadas formais:
Substituindo na EDO:
Reagrupando em potências de
e deslocando índice no termo com
(usando
) chega-se a
Isto equivale a
onde convenimos definir
.
Passo 3
Para
a condição de coeficiente zero dá a equação indicial
Passo 4
Para
o termo
é nulo e obtemos
Como o fator entre colchetes não se anula para
nem para
, segue que
Para
vem a relação de recorrência
Passo 5
Como
, só surgem termos pares não nulos, e para cada raiz
definimos
com
livre. Assim as duas soluções independentes são
onde em
usamos
e em
usamos
.
Resposta
A solução geral é
com as constantes
e os coeficientes dados pela recorrência
para
(
) e
(
).