Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é equação diferencial exata, então vamos verificar a exatidão e depois encontrar uma função potencial cuja diferencial reproduza essa forma.
Passo 2
Para testar a exatidão, identificamos
e
. Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -6 t y,\
\frac{\partial N}{\partial t} = -6 t y.$$
Como , a equação é exata.
Como
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Agora derivamos
Passo 4
Daí vem
, logo
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Passo 6
A solução geral da equação é dada por
, com
constante.