Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
(t^3-3 t y^2+1) d t-(3 t^2 y-y^2) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial (t^3 - 3 t y^2 + 1),dt - (3 t^2 y - y^2),dy = 0. O conteúdo aqui é equação diferencial exata, então vamos verificar a exatidão e depois encontrar uma função potencial cuja diferencial reproduza essa forma.

Passo 2

Para testar a exatidão, identificamos M(t,y) = t^3 - 3 t y^2 + 1 e N(t,y) = -l(3 t^2 y - y^2r). Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -6 t y,\
\frac{\partial N}{\partial t} = -6 t y.$$
Como partial Mpartial y = -6 t y, partial Npartial t = -6 t y, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial psi(t,y), integramos M em relação a t:
psi(t,y) = integral (t^3 - 3 t y^2 + 1),dt = t^44 - 3 y^2 t^22 + t + h(y)
Agora derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partial psipartial y = -3 t^2 y + h'(y) = -3 t^2 y + y^2

Passo 4

Daí vem h'(y)=y^2, logo
h(y)=integral y^2,dy = y^33

Passo 5

Substituindo em psi, obtemos
psi(t,y) = t^44 - 3 t^2 y^22 + t + y^33

Passo 6

A solução geral da equação é dada por psi(t,y)=C, com C constante.

Resposta

t^44 - 3 t^2 y^22 + t + y^33 = C

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