Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
Estamos lidando com a função composta k(x,y)=h(f(x,y)), onde f(x,y)=e^{x y^{2}} e sabemos que h′(16)=\tfrac14. Precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e calcular ∇k(ln(2),2).
Passo 2
A regra da cadeia para gradiente diz que \nabla k(x,y)=h′\bigl(f(x,y)\bigr),\nabla f(x,y). Ou seja, primeiro derivamos f em relação a x e a y.
Passo 3
Derivando f(x,y)=e^{x y^{2}} temos as derivadas parciais:
Passo 4
Agora avaliamos f e suas derivadas no ponto (x,y)=(ln(2),2). Primeiro:
Logo h′(f(\ln(2),2))=h′(16)=\tfrac14.
Passo 5
Em seguida calculamos as componentes de ∇f em (ln(2),2):
Passo 6
Finalmente obtemos ∇k(ln(2),2)=h′(16),(f_x(ln(2),2),f_y(ln(2),2)). Substituindo:
Resposta
(16,;16\ln(2))