Use regra da cadeia para calcular nabla k(ln (2), 2)
k(x, y)=h(f(x, y))
h^prime(16)=14
f(x, y)=e^-x y^2

Passo 1

Estamos lidando com a função composta k(x,y)=h(f(x,y)), onde f(x,y)=e^{x y^{2}} e sabemos que h′(16)=\tfrac14. Precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e calcular ∇k(ln(2),2).

Passo 2

A regra da cadeia para gradiente diz que \nabla k(x,y)=h′\bigl(f(x,y)\bigr),\nabla f(x,y). Ou seja, primeiro derivamos f em relação a x e a y.

Passo 3

Derivando f(x,y)=e^{x y^{2}} temos as derivadas parciais:
fx=partialpartial xe^x y^2=y^2,e^x y^2,
fy=partialpartial ye^x y^2=2xy,e^x y^2

Passo 4

Agora avaliamos f e suas derivadas no ponto (x,y)=(ln(2),2). Primeiro:
f(ln(2),2)=e^(ln(2))cdot 2^2=e^4ln(2)=l(e^ln(2)r)^4=2^4=16
Logo h′(f(\ln(2),2))=h′(16)=\tfrac14.

Passo 5

Em seguida calculamos as componentes de ∇f em (ln(2),2):
fx(ln(2),2)=2^2,e^4ln(2)=4cdot16=64,
fy(ln(2),2)=2cdot(ln(2))cdot2,e^4ln(2)=4ln(2)cdot16=64ln(2)

Passo 6

Finalmente obtemos ∇k(ln(2),2)=h′(16),(f_x(ln(2),2),f_y(ln(2),2)). Substituindo:
kx=tfrac14cdot64=16,
ky=tfrac14cdot64ln(2)=16ln(2)

Resposta

(16,;16\ln(2))

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