Determine o domínio e a imagem da seguinte função:
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.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \sqrt{\sin(2x)} $ para $ x $ no intervalo
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e operações com raízes quadradas. Para isso, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para valores não negativos. Então, a gente precisa garantir que $ \sin(2x) $ seja maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, precisamos que o que está dentro dela, ou seja, $ \sin(2x) $, seja maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação. Sabemos que a função seno é não negativa nos intervalos onde o ângulo está entre $ 0 $ e $ \pi $ dentro de cada período. O período do $ \sin(2x) $ é $ \pi $, então vamos encontrar onde $ 2x $ está entre $ 0 $ e $ \pi $, $ 2\pi $ e $ 3\pi $, etc., dentro do intervalo dado $ [0, 4\pi] $.
Dividindo o intervalo $ [0, 4\pi] $ por 2 para facilitar, temos $ x \in [0, 2\pi] $. Agora, vamos ver onde $ \sin(2x) \geq 0 $ nesse intervalo.
A função seno é positiva de $ 0 $ a $ \pi $ e negativa de $ \pi $ a $ 2\pi $. Logo, multiplicando por 2x, os intervalos onde $ \sin(2x) \geq 0 $ correspondem a:
Dividindo tudo por 2:
Então, o domínio da função $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Como temos $ f(x) = \sqrt{\sin(2x)} $, e sabemos que $ \sin(2x) $ varia de 0 a 1 (porque a raiz quadrada só aceita números não negativos), a imagem será:
Portanto, a imagem da função $ f(x) $ é o intervalo:
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \sqrt{\sin(2x)} $ no intervalo
é:
E a imagem da função é: