Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x\left(2y^{2}+1\right),dy - y,dx = 0. O conteúdo aqui é identificação de uma equação separável: vamos precisar escrever e separar as variáveis.
x\left(2y^{2}+1\right),dy - y,dx = 0. O conteúdo aqui é identificação de uma equação separável: vamos precisar escrever
Passo 2
Primeiro, a gente isola
. Dividindo toda a equação por
e por
(que é não nulo), obtemos:
Passo 3
Agora separamos as variáveis, trazendo tudo em
para o lado esquerdo e tudo em
para o direito. Ficamos com:
Note que usamos
.
Passo 4
Integramos os dois lados:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Reunindo e definindo
, temos:
ou ainda
Passo 5
Essa é a solução geral da equação diferencial, dada de forma implícita.
Resposta
A solução geral é
y^{2} + \ln\Bigl|\frac{y}{x}\Bigr| = C, onde C é constante arbitrária.
y^{2} + \ln\Bigl|\frac{y}{x}\Bigr| = C, onde C é constante arbitrária.