Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
x(2 y^2+1) d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x\left(2y^{2}+1\right),dy - y,dx = 0. O conteúdo aqui é identificação de uma equação separável: vamos precisar escrever dy/dx e separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, a gente isola dy/dx. Dividindo toda a equação por dx e por x(2y^2+1) (que é não nulo), obtemos:
dydx = yx,(2y^2+1)

Passo 3

Agora separamos as variáveis, trazendo tudo em y para o lado esquerdo e tudo em x para o direito. Ficamos com:
2y^2+1y,dy = 1x,dx
Note que usamos 2y^2y+1y=2y+1y.

Passo 4

Integramos os dois lados:
Lado esquerdo:
integrall(2y+1yr),dy = integral2y,dy + integral1y,dy = y^2 + ln|y| + C1
Lado direito:
integral1x,dx = ln|x| + C2
Reunindo e definindo C = C2-C1, temos:
y^2 + ln|y| = ln|x| + C
ou ainda
y^2 + lnl|yxr| = C

Passo 5

Essa é a solução geral da equação diferencial, dada de forma implícita.

Resposta

A solução geral é
y^{2} + \ln\Bigl|\frac{y}{x}\Bigr| = C, onde C é constante arbitrária.

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