Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto (1,2,4)
f(x, y)=x+raizy^3+x^2

Passo 1

Temos a superfície definida por z = f(x,y) com f(x,y) = x + raizy^3 + x^2 e o ponto (1,2,4). Vamos precisar de derivadas parciais para obter as inclinações na direção de x e y, levando à equação do plano tangente, e do vetor normal para a reta normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais usando cadeia e regra do quociente:
fx(x,y) = 1 + 12(y^3 + x^2)^-1/2 cdot 2x = 1 + xraizy^3 + x^2,
fy(x,y) = 12(y^3 + x^2)^-1/2 cdot 3y^2 = 3y^22raizy^3 + x^2
Avaliando em (1,2):
fx(1,2) = 1 + 13 = 43, fy(1,2) = 3cdot42cdot3 = 2

Passo 3

A equação do plano tangente à superfície no ponto (1,2,4) é dada pela aproximação linear
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
Substituindo x0=1, y0=2, z0=4 e fx(1,2)=4/3, fy(1,2)=2, obtemos
z - 4 = 43(x - 1) + 2(y - 2)

Passo 4

O vetor normal à superfície no ponto é dado por
l(fx(1,2),,fy(1,2),,-1r) = (43,2,-1)
Assim, a reta normal, passando por (1,2,4) e com esse vetor direção, tem equação paramétrica
x = 1 + 43t,y = 2 + 2t,z = 4 - t

Resposta

Plano tangente:
z - 4 = 43(x - 1) + 2(y - 2)
Reta normal:
x = 1 + 43t,y = 2 + 2t,z = 4 - t

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