Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O tema é equações exatas e fator integrante; vamos usar derivadas parciais para testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Identificamos as funções
onde o equação está escrita como
Passo 3
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
Passo 4
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Note que
$$\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{(x+1)\cos y - y\sin y - \cos y}{x\cos y - y\sin y} = 1.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
e obtemos uma nova equação exata com
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = M_1 = e^x(x\sin y + y\cos y).
\psi(x,y) = \int e^x(x\sin y + y\cos y),dx
= e^x\bigl(x\sin y - \sin y + y\cos y\bigr) + h(y).
= e^x\bigl(x\sin y - \sin y + y\cos y\bigr) + h(y).
$$
Passo 7
Para determinar
, usamos
$$\frac{\partial \psi}{\partial y} = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + h’(y)
$$
e igualamos a . Daí
, logo
é constante.
e igualamos a
Passo 8
A solução geral fica dada implicitamente por
$$e^x\bigl((x-1)\sin y + y\cos y\bigr) = C,
$$
onde é constante de integração.
onde
Resposta
e^x\bigl((x-1)\sin y + y\cos y\bigr) = C