Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
(x cos (y)-y sen(y)) d y+(x sen(y)+y cos (y)) d x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(xcos y - ysin y),dy + (xsin y + ycos y),dx = 0
O tema é equações exatas e fator integrante; vamos usar derivadas parciais para testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = xsin y + ycos y, N(x,y) = xcos y - ysin y,
onde o equação está escrita como M,dx + N,dy=0.

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = (x+1)cos y - ysin y, partial Npartial x = cos y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Note que
$$\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{(x+1)\cos y - y\sin y - \cos y}{x\cos y - y\sin y} = 1.
partial M/partial y - partial N/partial xN = (x+1)cos y - ysin y - cos yxcos y - ysin y = 1 \frac{\mu’(x)}{\mu(x)} = 1 \quad\Rightarrow\quad \mu(x) = e^x.$$

Passo 5

Multiplicamos a equação original por e^x e obtemos uma nova equação exata com
M1 = e^x(xsin y + ycos y), N1 = e^x(xcos y - ysin y)

Passo 6

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = M_1 = e^x(x\sin y + y\cos y).
partial psipartial x = M1 = e^x(xsin y + ycos y) çã
\psi(x,y) = \int e^x(x\sin y + y\cos y),dx
= e^x\bigl(x\sin y - \sin y + y\cos y\bigr) + h(y).
$$

Passo 7

Para determinar h(y), usamos
$$\frac{\partial \psi}{\partial y} = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + h’(y)
$$
e igualamos a partial psipartial y = e^xl(xcos y - ysin yr) + h'(y) . Daí N1 = e^x(xcos y - ysin y), logo h'(y)=0 é constante.

Passo 8

A solução geral fica dada implicitamente por
$$e^x\bigl((x-1)\sin y + y\cos y\bigr) = C,
$$
onde e^xl((x-1)sin y + ycos yr) = C, é constante de integração.

Resposta

e^x\bigl((x-1)\sin y + y\cos y\bigr) = C

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