Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto (6,3,2)
f(x, y)=xy^2-x

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por z = f(x,y) no ponto (6,3,2), usando derivadas parciais para achar o gradiente e, em seguida, as fórmulas padrão de plano e reta.

Passo 2

Verificar se o ponto pertence à superfície calculando f(6,3). Como f(6,3) = tfrac63^2 - 6 = tfrac69 - 6 = 2, concluímos que o ponto (6,3,2) está na superfície.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y) = xy^2 - x usando a regra do quociente. Se denotarmos D = y^2 - x, então
fx = D - x(-1)D^2 = y^2(y^2 - x)^2,
fy = 0 cdot D - x cdot 2yD^2 = -2xy(y^2 - x)^2

Passo 4

Avaliar fx e fy em (6,3). Como D(6,3) = 3, obtemos
fx(6,3) = 93^2 = 1,
fy(6,3) = -2 cdot 6 cdot 39 = -4

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente em (6,3,2), sabendo que
z - z0 = fx(x - x0) + fy(y - y0)
Substituindo os valores, chega-se a
z - 2 = 1 cdot (x - 6) - 4 cdot (y - 3)

Passo 6

Determinar a reta normal, usando como vetor diretor lang<= fx, fy, -1 rang<= = lang<= 1, -4, -1 rang<=. A equação paramétrica é
x = 6 + t, y = 3 - 4t, z = 2 - t,

Resposta

Plano tangente:
z - 2 = (x - 6) - 4(y - 3)
Reta normal:
x = 6 + t, y = 3 - 4t, z = 2 - t, t in R

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