Determine o domínio e a imagem da seguinte função:
f(x)=raiz-x+5.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função f(x)=raiz-x+5. O conteúdo é análise de funções do tipo radical, e vamos precisar usar a condição de existência da raiz quadrada (argumento não negativo) e entender o comportamento do radical para obter a imagem.

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista, o argumento dentro de raizcdot deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos ter
-x + 5 >= 0
Isto decorre da propriedade de que, para f(x)=raizg(x), o domínio é onde g(x)>=0.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade:
-x + 5 >= 0 Longrightarrow -x >= -5
Multiplicando ambos os lados por -1 (invertendo o sinal da desigualdade), obtemos
x <= 5
Logo, o domínio é
(-infty, 5]

Passo 4

Para determinar a imagem, note que a raiz quadrada sempre gera valores não negativos. O valor mínimo de f(x) ocorre quando o argumento -x+5=0, gerando f=0. Por outro lado, à medida que xto -infty, o argumento -x+5to+infty e, portanto, f(x)to+infty. Assim, a imagem é
[0,infty)

Resposta

Domínio: (-∞, 5]. Imagem: [0, ∞).

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