Determine o domínio e a imagem da seguinte função:
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
. O conteúdo é análise de funções do tipo radical, e vamos precisar usar a condição de existência da raiz quadrada (argumento não negativo) e entender o comportamento do radical para obter a imagem.
Passo 2
Para que a raiz quadrada exista, o argumento dentro de
deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos ter
Isto decorre da propriedade de que, para
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
Logo, o domínio é
Passo 4
Para determinar a imagem, note que a raiz quadrada sempre gera valores não negativos. O valor mínimo de
ocorre quando o argumento
, gerando
. Por outro lado, à medida que
, o argumento
e, portanto,
. Assim, a imagem é
Resposta
Domínio: (-∞, 5]. Imagem: [0, ∞).