Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para resolver essa equação e encontrar a solução geral, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica útil para resolver certos tipos de equações diferenciais não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro como ela se encaixa no método de Bernoulli. Expandindo a expressão:
Agora, nossa equação fica:
Passo 3
Vamos organizar essa equação de forma a se assemelhar à forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 4
No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Definimos:
Então, nossa nova variável é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo
pela expressão da equação original:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Passo 6
Dividindo a equação por
:
Agora, temos uma equação diferencial linear em
.
Passo 7
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.