Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
x^prime=(t-x) xt^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
x' = (t - x)xt^2
Isso significa que a derivada de x em relação a t é igual a (t - x)xt^2. Para resolver essa equação e encontrar a solução geral, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica útil para resolver certos tipos de equações diferenciais não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro como ela se encaixa no método de Bernoulli. Expandindo a expressão:
x' = x(t - x)t^2 = xtt^2 - x^2t^2 = xt - x^2t^2
Agora, nossa equação fica:
x' = xt - x^2t^2

Passo 3

Vamos organizar essa equação de forma a se assemelhar à forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
y' + P(t)y = Q(t)y^n
Comparando com a nossa equação:
x' + (-1t)x = -x^2t^2
Aqui, temos:
  • P(t) = -1t
  • Q(t) = -1t^2
  • n = 2

Passo 4

No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Definimos:
z = y^1 - n = y^-1 = 1x
Então, nossa nova variável é z = 1x.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de z em relação a t:
dzdt = -1x^2 cdot dxdt
Substituindo dxdt pela expressão da equação original:
dzdt = -1x^2 ( xt - x^2t^2 ) = -1xt + 1t^2
Multiplicando tudo por t^2 para simplificar:
t^2dzdt + t z = 1

Passo 6

Dividindo a equação por t^2:
dzdt + 1t z = 1t^2
Agora, temos uma equação diferencial linear em z.

Passo 7

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1t dt = e^ln t = t
Multiplicando toda a equação por mu(t) = t:
t cdot dzdt + z = 1t
Isso pode ser reescrito como:
ddt(tz) = 1t

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:
tz = integral 1t dt = ln t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para z:
z = ln t + Ct
Lembrando que z = 1x, substituímos de volta:
1x = ln t + Ct

Passo 10

Finalmente, resolvendo para x:
x = tln t + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = tln t + C
onde C é a constante de integração.

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