Considere a integral dupla
integralegral duplaD f(x, y) d x d y
onde D é a regiāo do plano dada pelo conjunto dos pontos (x, y) tais que x^2+y^2 <= 4 e x >= 0.
Calcule a integral para o caso em que f(x, y)=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui. O enunciado pede para calcular a integral de $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ sobre a região $ D $, que é a parte do plano onde $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e $ x \geq 0 $. Isso significa que estamos lidando com uma meia-circunferência de raio 2 no lado direito do plano. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, porque elas facilitam bastante quando lidamos com círculos e funções envolvendo $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto $ (x, y) $ é representado por $ (r, \theta) $, onde $ r $ é a distância do ponto até a origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo positivo x. As relações de conversão são:
(x, y)
(r, theta)
E a área elementar em coordenadas polares é $ dA = r , dr , d\theta $.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $, o raio $ r $ varia de 0 até 2. Para $ x \geq 0 $, o ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ até $ \frac{\pi}{2} $, cobrindo a metade direita do círculo.

Passo 4

Substituindo $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ por $ f(r, \theta) = r $ em coordenadas polares e aplicando os limites que definimos, a integral fica:
f(x, y) = raizx^2 + y^2

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{8\pi}{3} $.

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