Considere a integral dupla
onde
é a regiāo do plano dada pelo conjunto dos pontos
tais que
e
.
Calcule a integral para o caso em que
.
Calcule a integral para o caso em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui. O enunciado pede para calcular a integral de $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ sobre a região $ D $, que é a parte do plano onde $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e $ x \geq 0 $. Isso significa que estamos lidando com uma meia-circunferência de raio 2 no lado direito do plano. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, porque elas facilitam bastante quando lidamos com círculos e funções envolvendo $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto $ (x, y) $ é representado por $ (r, \theta) $, onde $ r $ é a distância do ponto até a origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo positivo x. As relações de conversão são:
E a área elementar em coordenadas polares é $ dA = r , dr , d\theta $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $, o raio $ r $ varia de 0 até 2. Para $ x \geq 0 $, o ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ até $ \frac{\pi}{2} $, cobrindo a metade direita do círculo.
Passo 4
Substituindo $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ por $ f(r, \theta) = r $ em coordenadas polares e aplicando os limites que definimos, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a $ \theta $:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{8\pi}{3} $.