Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = -\frac{x + y}{x} $. O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é $ y’ + P(x)y = Q(x) $.
Nossa equação original é:
Vamos multiplicar os dois lados por $ x $ para eliminar o denominador:
Agora, movemos todos os termos para um lado:
Dessa forma, temos:
Aqui, $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -1 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = \frac{1}{x} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
Multiplicando por $ x $:
Isso simplifica para:
Essa última igualdade vem do fato de que:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x y $, e a do lado direito é:
onde $ C $ é a constante de integração.
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.