Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
y^prime=-x+yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = -\frac{x + y}{x} $. O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é $ y’ + P(x)y = Q(x) $.
Nossa equação original é:
y' + P(x)y = Q(x)
Vamos multiplicar os dois lados por $ x $ para eliminar o denominador:
y' = -x + yx
Agora, movemos todos os termos para um lado:
x
Dessa forma, temos:
x y' = -(x + y)
Aqui, $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -1 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = \frac{1}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Multiplicando por $ x $:
x y' + y = -x
Isso simplifica para:
x
Essa última igualdade vem do fato de que:
x cdot y' + y = -x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x y $, e a do lado direito é:
integral ddx (x y) dx = integral -x dx
onde $ C $ é a constante de integração.
Então, temos:
x y

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ x $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -x2 + Cx
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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