Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é uma equação diferencial: $ x y’ - y = y^3 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Bernoulli. Vamos precisar entender um pouco sobre transformações para transformar essa equação em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar $ y’ $ isolado. Começamos adicionando $ y $ em ambos os lados:
Agora, dividimos tudo por $ x $ para que a equação fique em termos de $ y’ $:
Passo 3
Percebemos que essa equação tem a forma de uma Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, podemos identificar:
- $ P(x) = -\frac{1}{x} $
- $ Q(x) = \frac{1}{x} $
- $ n = 3 $
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos usar a substituição:
Isso nos ajuda a simplificar a equação. Agora, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituímos $ y’ $ da nossa equação original na expressão de $ z’ $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em $ z $:
Para resolver isso, usamos o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de $ x^2 z $:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para $ z $:
Lembrando que $ z = y^{-2} $, substituímos de volta:
Passo 10
Finalmente, isolamos $ y $:
Podemos reescrever de forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.