Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
x y^prime-y=y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que temos é uma equação diferencial: $ x y’ - y = y^3 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Bernoulli. Vamos precisar entender um pouco sobre transformações para transformar essa equação em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar $ y’ $ isolado. Começamos adicionando $ y $ em ambos os lados:
y'
Agora, dividimos tudo por $ x $ para que a equação fique em termos de $ y’ $:
y

Passo 3

Percebemos que essa equação tem a forma de uma Equação de Bernoulli, que é:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, podemos identificar:
  • $ P(x) = -\frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{1}{x} $
  • $ n = 3 $

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos usar a substituição:
z = y^1 - n = y^-2
Isso nos ajuda a simplificar a equação. Agora, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $:
z

Passo 5

Substituímos $ y’ $ da nossa equação original na expressão de $ z’ $:
y'
Simplificando:
z'
z' = -2 y^-3 ( yx + y^3x )

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em $ z $:
z
Para resolver isso, usamos o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
z' + 2x z = -2x

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^2 z' + 2x z = -2x
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de $ x^2 z $:
x^2 z

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
integral ddx (x^2 z) dx = integral -2x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para $ z $:
z
Lembrando que $ z = y^{-2} $, substituímos de volta:
z = -1 + Cx^2

Passo 10

Finalmente, isolamos $ y $:
y
Podemos reescrever de forma mais elegante:
y = 1raiz-1 + Cx^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = xraizC - x^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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