Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
|x-3|>x+1

Passo 1

Temos a desigualdade |x - 3| > x + 1. Esse exercício envolve inequação com valor absoluto. Vamos usar a definição por casos do valor absoluto para resolver.

Passo 2

Para inequações com valor absoluto, usamos a definição por casos do valor absoluto:
|A| = A, & se A >= 0, -A, & se A < 0
Aqui temos A = x - 3, então teremos dois subcasos: x - 3 >= 0 e x - 3 < 0.

Passo 3

No caso 1, se x - 3 >= 0 (ou seja, x >= 3), temos |x - 3| = x - 3. Substituindo na desigualdade:
x - 3 > x + 1
Subtraindo x de ambos os lados:
-3 > 1,
que é uma contradição. Portanto, não há solução para x >= 3.

Passo 4

No caso 2, se x - 3 < 0 (ou seja, x < 3), temos |x - 3| = 3 - x. Substituindo:
3 - x > x + 1
Somando x e subtraindo 1 de ambos os lados:
2 > 2x, x < 1
Como já consideramos x < 3, a solução desse caso é x < 1.

Passo 5

Unindo as partes, a solução da inequação é x < 1. Em notação de intervalo, isso fica

Resposta

(-∞, 1)

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