Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
|x-1|-|x-3| >= |x-1|2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação lvert x-1rvert - lvert x-3rvert >= dfraclvert x-1rvert2. O conteúdo envolve inequações com valor absoluto e vamos precisar usar definição de valor absoluto e estudo de casos para as regiões x<1, 1<= x<3 e x>=3.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por 2 (positivo) obtemos equivalência com
2lvert x-1rvert - 2lvert x-3rvert >= lvert x-1rvert
que simplifica para
lvert x-1rvert >= 2lvert x-3rvert

Passo 3

Analisando os três intervalos:
  • Para x<1: lvert x-1rvert=1-x e lvert x-3rvert=3-x. A inequação vira 1-x>=2(3-x), isto é x>=5, sem solução em x<1.
  • Para 1<= x<3: lvert x-1rvert=x-1 e lvert x-3rvert=3-x. Vira x-1>=2(3-x), ou seja x>=tfrac73. Como x<3, solução nesta região é xin[tfrac73,3).
  • Para x>=3: lvert x-1rvert=x-1 e lvert x-3rvert=x-3. Vira x-1>=2(x-3), ou seja x<=5. Como x>=3, solução é xin[3,5].

Passo 4

Juntando as soluções dos intervalos, temos
.

Resposta

[tfrac73,5]

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