Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
(x^2+1)(x^4+1)(x^2+2)(x^6+6)>0
Este é um problema de análise de sinal de função racional: precisamos identificar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos e, a partir disso, encontrar os intervalos onde a razão é maior que zero.

Passo 2

Vamos examinar cada fator envolvendo potências pares somadas a constantes positivas. Note que para todo xinR:
x^2+1>=1>0,
x^4+1>=1>0,
x^2+2>=2>0,
x^6+6>=6>0
Qualquer polinômio do tipo x^2n+c com c>0 é sempre positivo, pois x^2n>=0.

Passo 3

Como numerador e denominador são sempre positivos, a razão também é sempre positiva. Além disso, não há pontos em que o denominador se anule, pois x^2+2 e x^6+6 nunca chegam a zero. Isso significa que a desigualdade vale para todos os reais.

Passo 4

A solução da desigualdade é, portanto, todo o conjunto dos números reais.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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