Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ x y^{\prime} + y - e^{x} = 0 $. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, que são equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
Aqui, identificamos que:
- $ P(x) = \frac{1}{x} $
- $ Q(x) = \frac{e^{x}}{x} $
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
Essa multiplicação faz com que o lado esquerdo da equação seja a derivada de $ y \cdot \mu(x) $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ y \cdot x $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: