Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
x y^prime+y-e^x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ x y^{\prime} + y - e^{x} = 0 $. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, que são equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida. Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos toda a equação por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
x
Aqui, identificamos que:
  • $ P(x) = \frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{e^{x}}{x} $

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Essa multiplicação faz com que o lado esquerdo da equação seja a derivada de $ y \cdot \mu(x) $:
x y^prime + y = e^x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ y \cdot x $:
y cdot x
Isso nos dá:
integral ddx (x y) , dx = integral e^x , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ x $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^xx + Cx

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