Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.

Passo 1

Estamos resolvendo a inequação fracionária a seguir:
(x^2 - 5x + 4)(x+2)(x^2+3)(2x+1) >= 0
Este é um problema de inequações racionais; vamos fatorar polinômios, identificar pontos onde o numerador e o denominador se anulam e analisar sinais em cada intervalo.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador. O numerador (x^2 - 5x + 4)(x+2) fatora como (x-1)(x-4)(x+2). O denominador é (x^2+3)(2x+1) e observamos que x^2+3>0 para todo x.
Os pontos em que a expressão pode mudar de sinal são as raízes dos fatores. Assim, temos zeros do numerador em x=-2, x=1 e x=4, e zero do denominador em x=-tfrac12. Portanto o domínio é todos os reais, exceto x=-tfrac12.

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal em cada intervalo delimitado pelos pontos críticos ordenados -infty,-2,-tfrac12,1,4,infty:
  • Para x<-2: numerador negativo e denominador negativo → quociente positivo.
  • Para -2: numerador positivo e denominador negativo → quociente negativo.
  • Para -tfrac12: numerador positivo e denominador positivo → quociente positivo.
  • Para 1: numerador negativo e denominador positivo → quociente negativo.
  • Para x>4: numerador positivo e denominador positivo → quociente positivo.

Passo 4

Como queremos >=0, aceitamos os intervalos onde o quociente é positivo e também os pontos em que o numerador anula (zero), desde que o denominador não anule. Logo, incluímos x=-2, x=1 e x=4 e excluímos x=-tfrac12.

Resposta

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