Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
Passo 1
Estamos resolvendo a inequação fracionária a seguir:
Este é um problema de inequações racionais; vamos fatorar polinômios, identificar pontos onde o numerador e o denominador se anulam e analisar sinais em cada intervalo.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador. O numerador
fatora como
. O denominador é
e observamos que
para todo
.
Os pontos em que a expressão pode mudar de sinal são as raízes dos fatores. Assim, temos zeros do numerador em ,
e
, e zero do denominador em
. Portanto o domínio é todos os reais, exceto
.
Os pontos em que a expressão pode mudar de sinal são as raízes dos fatores. Assim, temos zeros do numerador em
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal em cada intervalo delimitado pelos pontos críticos ordenados
:
- Para
: numerador negativo e denominador negativo → quociente positivo. - Para
: numerador positivo e denominador negativo → quociente negativo. - Para
: numerador positivo e denominador positivo → quociente positivo. - Para
: numerador negativo e denominador positivo → quociente negativo. - Para
: numerador positivo e denominador positivo → quociente positivo.
Passo 4
Como queremos
, aceitamos os intervalos onde o quociente é positivo e também os pontos em que o numerador anula (zero), desde que o denominador não anule. Logo, incluímos
,
e
e excluímos
.