Problema 10: Se a é um número real sabemos que
Le^a t f(t)=F(s-a),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado em cada caso para encontrar a transformada de Laplace:
Le^5 t t^2.

Passo 1

Estamos com a função f(t)=e^5tt^2 e queremos usar a propriedade de deslocamento na variável s da transformada de Laplace: Le^atf(t)=F(s-a). Vamos precisar saber a transformada de t^2 e então aplicar o deslocamento com a=5.

Passo 2

Primeiro, lembramos a transformada de Laplace de t^2. Pela definição ou tabelas, temos
Lt^2=integral0^inftyt^2e^-stdt=2s^3,para Re(s)>0

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento: se F(s)=Lt^2=2/s^3, então
Le^5tt^2=F(s-5)=2(s-5)^3

Passo 4

Verificamos a região de convergência: originalmente Re(s)>0, após o deslocamento fica Re(s-5)>0, ou seja, Re(s)>5.

Resposta

Le^5tt^2=2(s-5)^3, Re(s)>5

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