Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
y(1+x y) d x-x d y=0, tal que y=2 para x=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução particular da equação diferencial y(1 + x y),dx - x,dy = 0, com a condição inicial y(1)=2. O conteúdo envolvido é EDOs de primeira ordem e vamos precisar usar separação de variáveis via a substituição v = x y.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação em forma de dy/dx. De y(1+xy),dx = x,dy temos:
dydx = y(1+xy)x = yx + y^2

Passo 3

Agora fazemos a substituição v = x y. Então
dvdx = y + xdydx
e, como já sabemos dy/dx = y/x + y^2, fica
dvdx = y + xl(yx + y^2r) = 2y + x y^2

Passo 4

Como y = v/x, substituímos em dv/dx:
dvdx = vx(2 + v) = v(2+v)x
Isso é separável em v e x:
dvv(2+v) = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados. Primeiro a parte em v:
integral dvv(2+v) = 12integrall(1v - 1v+2r)dv = 12lnl|vv+2r| + C1
Do lado de x:
integral dxx = ln|x| + C2
Juntando as constantes num único C e igualando, obtemos:
lnl|vv+2r| = 2ln|x| + C Longrightarrow vv+2 = K x^2,
com K = e^C.

Passo 6

Voltando a v = x y, temos:
x yx y + 2 = K x^2 Longrightarrow x y = K x^2 (x y + 2)
Isolando y dá:
xyl(1 - K x^2r) = 2K x^2 Longrightarrow y = 2K x^2x(1 - K x^2) = 2K x1 - K x^2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 2Kcdot11 - Kcdot1 Longrightarrow 2(1-K) = 2K Longrightarrow K = tfrac12

Passo 8

Substituindo K=tfrac12 na expressão de y(x) obtemos a solução particular:
boxedy(x) = 2x2 - x^2

Resposta

y(x) = \frac{2x}{2 - x^2}

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