Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais: , tal que para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução particular da equação diferencial , com a condição inicial . O conteúdo envolvido é EDOs de primeira ordem e vamos precisar usar separação de variáveis via a substituição .
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação em forma de . De temos:
Passo 3
Agora fazemos a substituição . Então
e, como já sabemos , fica
Passo 4
Como , substituímos em :
Isso é separável em e :
Passo 5
Integramos ambos os lados. Primeiro a parte em :
Do lado de x:
integral dxx = ln|x| + C2
Juntando as constantes num único C e igualando, obtemos:
lnl|vv+2r| = 2ln|x| + C Longrightarrow vv+2 = K x^2,
com K = e^C.
Passo 6
Voltando a v = x y, temos:
x yx y + 2 = K x^2 Longrightarrow x y = K x^2 (x y + 2)
Isolando y dá:
xyl(1 - K x^2r) = 2K x^2 Longrightarrow y = 2K x^2x(1 - K x^2) = 2K x1 - K x^2