Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto
Passo 1
Temos uma superfície definida por z = f(x,y) e queremos a equação do plano tangente e da reta normal em (3,2,31). Vamos precisar das derivadas parciais de f e do vetor normal à superfície.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x³−x y²+y⁴. As fórmulas são:
Passo 3
Avaliar as derivadas no ponto (3,2): f_x(3,2)=3·3²−2²=27−4=23 e f_y(3,2)=-2·3·2+4·2³=-12+32=20. O vetor normal à superfície z−f(x,y)=0 é ∇F=(f_x,f_y,−1)=(23,20,−1).
Passo 4
Escrever a equação do plano tangente usando o ponto e o vetor normal. A forma ponto-normal dá:
Passo 5
Montar a reta normal como a reta que passa em (3,2,31) com direção dada pelo vetor normal (23,20,−1). Em forma paramétrica:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: