Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto (3,2,31)
f(x, y)=x^3-x y^2+y^4

Passo 1

Temos uma superfície definida por z = f(x,y) e queremos a equação do plano tangente e da reta normal em (3,2,31). Vamos precisar das derivadas parciais de f e do vetor normal à superfície.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x³−x y²+y⁴. As fórmulas são:
fx(x,y)=3x^2-y^2,
fy(x,y)=-2xy+4y^3

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto (3,2): f_x(3,2)=3·3²−2²=27−4=23 e f_y(3,2)=-2·3·2+4·2³=-12+32=20. O vetor normal à superfície z−f(x,y)=0 é ∇F=(f_x,f_y,−1)=(23,20,−1).

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente usando o ponto e o vetor normal. A forma ponto-normal dá:
z-31=23(x-3)+20(y-2)

Passo 5

Montar a reta normal como a reta que passa em (3,2,31) com direção dada pelo vetor normal (23,20,−1). Em forma paramétrica:
x=3+23t, y=2+20t, z=31-t

Resposta

Plano tangente:
z-31=23(x-3)+20(y-2)
Reta normal:
x=3+23t, y=2+20t, z=31-t

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