Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto (2, pi4, 5)
f(x, y)=x^2+x cos ^2(y)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada por z=f(x,y) no ponto (2,,pi/4,,5). O conteúdo que vamos usar inclui derivadas parciais de f, a fórmula do plano tangente via aproximação linear e o vetor normal à superfície, que gera a reta normal.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de f(x,y)=x^2 + xcos^2(y). Para fx temos a regra da soma e do produto: \
fx = partialpartial x(x^2) + partialpartial xl(xcos^2(y)r) = 2x + cos^2(y) \
Para fy aplicamos a regra da cadeia no termo xcos^2(y): \
fy = x cdot 2cos(y)cdot(-sin(y)) = -2xcos(y)sin(y) = -xsin(2y)

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x0,y0)=(2,,pi/4). Note que cos^2(pi/4)=(raiz2/2)^2=1/2 e sin(2cdotpi/4)=sin(pi/2)=1. Assim, \
fx(2,pi/4)=2cdot2 + tfrac12 = 4 + tfrac12 = tfrac92, \
fy(2,pi/4) = -2cdot1 = -2

Passo 4

Para montar o plano tangente usamos a fórmula de aproximação linear: \
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0) \
Substituindo x0=2, y0=pi/4, z0=5, fx=9/2 e fy=-2, obtemos \
z - 5 = tfrac92,(x-2) - 2l(y-tfracpi4r)

Passo 5

A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção paralela ao vetor normal à superfície ( -fx, -fy, 1). Tomando o parâmetro t, escrevemos em forma paramétrica: \
x = 2 - tfrac92t, \
y = tfracpi4 + 2t, \
z = 5 + t

Resposta

Plano tangente: z - 5 = tfrac92(x-2) - 2l(y-tfracpi4r)
Reta normal (forma paramétrica): x = 2 - tfrac92t, y = tfracpi4 + 2t, z = 5 + t

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