Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto
aumenta.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma curva definida por x=e^{-1}+t e y=e^{t}-t para -2\le t\le2. O conteúdo é curvas paramétricas; vamos precisar calcular coordenadas de pontos-chave, entender como x e y variam com t e indicar a direção do traçado conforme t aumenta.
Passo 2
Escolhemos pontos t=-2, -1, 0, 1 e 2. Calculamos suas coordenadas: para t=-2: x= e^{-1}-2\approx-1{,}6321, y=e^{-2}+2\approx2{,}1353; para t=-1: x= e^{-1}-1\approx-0{,}6321, y=e^{-1}+1\approx1{,}3679; para t=0: x=e^{-1}\approx0{,}3679, y=1; para t=1: x=e^{-1}+1\approx1{,}3679, y=e-1\approx1{,}7183; para t=2: x=e^{-1}+2\approx2{,}3679, y=e^{2}-2\approx5{,}3891.
Passo 3
Desenhamos esses pontos no plano xy e unimos suavemente com uma curva. Observamos que dx/dt=1>0, ou seja, x cresce sempre, e dy/dt=e^{t}-1 muda de sinal em t=0 (decresce para t<0 e cresce para t>0), criando um ponto mínimo em t=0.
Passo 4
Colocamos uma seta ao longo da curva apontando do ponto correspondente a t=-2 (à esquerda e alto) em direção ao ponto de t=2 (à direita e ainda mais alto). Isso mostra que conforme t aumenta, o traçado vai da esquerda para a direita, descendo até t=0 e depois subindo.
Passo 5
O esboço final tem formato de “U” assimétrico, começando em (-1{,}632,2{,}135), descendo até (0{,}368,1) em t=0 e subindo para (2{,}368,5{,}389), com seta indicando a direção do traço de t=-2 a t=2.
Resposta
O esboço da curva é uma curva suave que passa pelos pontos aproximados (-1,632;2,135) para t=-2, (-0,632;1,368) para t=-1, (0,368;1) para t=0, (1,368;1,718) para t=1 e (2,368;5,389) para t=2, ligando-os com um “U” assimétrico. A seta ao longo da curva aponta da esquerda (t=-2) para a direita (t=2), mostrando a direção de crescimento de t.