Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a equação diferencial $ y’ + \frac{2y}{x} = x^{3} $. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar um método chamado Fator Integrante. Vamos passo a passo entender como isso funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{3} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante (µ). A fórmula para isso é:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Então, o fator integrante é:
Como $ x $ é positivo no contexto, podemos simplificar para $ \mu(x) = x^{2} $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ x^{2} $:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Isso acontece porque $ \frac{d}{dx}(x^{2} y) = x^{2} y’ + 2x y $, que é exatamente o que temos.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y $:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos $ y $ dividindo por $ x^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.