Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
y^prime+2 yx=x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a equação diferencial $ y’ + \frac{2y}{x} = x^{3} $. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar um método chamado Fator Integrante. Vamos passo a passo entender como isso funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear:
y' + P(x) , y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{3} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante (µ). A fórmula para isso é:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
P(x)
Então, o fator integrante é:
integral 2x , dx = 2 ln|x|
Como $ x $ é positivo no contexto, podemos simplificar para $ \mu(x) = x^{2} $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ x^{2} $:
x^2
Simplificando:
x^2 y' + x^2 cdot 2x y = x^2 cdot x^3

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Isso acontece porque $ \frac{d}{dx}(x^{2} y) = x^{2} y’ + 2x y $, que é exatamente o que temos.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y $:
y
Integrando:
integral ddx(x^2 y) , dx = integral x^5 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos $ y $ dividindo por $ x^{2} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^46 + Cx^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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