Desafio 2. Seja f(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots an x^n ( n natural e an neq 0 ) um polinômio com coeficientes inteiros. Seja r=pq um número racional com p e q primos entre si. Se r é raiz de f(x), prove que p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema da Raiz Racional: dado um polinômio com coeficientes inteiros
f(x)=a0+a1x+cdots+anx^n, anneq0,
e uma raiz racional escrita em forma irredutível r=tfracpq (isto é, gcd(p,q)=1), devemos mostrar que p divide a0 e q divide an. Para isso vamos usar avaliação de polinômio, limpeza de denominadores e propriedades de divisibilidade junto com o fato de p e q serem primos entre si.

Passo 2

Começamos avaliando f em r=tfracpq e igualando a zero:
fl(tfracpqr)=a0+a1tfracpq+a2tfracp^2q^2+cdots+antfracp^nq^n=0
Multiplicando ambos os lados por q^n (para eliminar frações) obtemos
a0q^n+a1p,q^n-1+a2p^2,q^n-2+cdots+anp^n=0

Passo 3

Observe que, nesse somatório,
  • todos os termos aip^i q^n-i com i>=1 têm um fator p,
  • o único termo sem p explícito é a0q^n.
    Logo podemos reescrever como
a0q^n + pcdot M = 0,
onde M=a1q^n-1+a2p,q^n-2+cdots+anp^n-1 é um inteiro. Então
a0q^n = -p,M
mostra que p divide o produto a0q^n.

Passo 4

Como p e q são primos entre si, p não pode dividir q^n. Pelo lema de Gauss (ou propriedade básica de divisibilidade), se pmid(a0q^n) e gcd(p,q^n)=1, então pmid a0. Assim provamos a primeira parte: p divide a0.

Passo 5

De modo análogo, na mesma expressão
a0q^n+a1p,q^n-1+cdots+anp^n=0,
agora notamos que todos os termos com índice i têm um fator q, restando sem q apenas anp^n. Logo
qcdot N + anp^n = 0,
com N=a0q^n-1+a1p,q^n-2+cdots+an-1p^n-1. Isso implica
anp^n = -q,N,
mostrando que q divide anp^n. Como gcd(q,p)=1, segue que qmid an.

Passo 6

Portanto, concluímos que qualquer raiz racional r=tfracpq irreduzível de um polinômio inteiro satisfaz pmid a0 e qmid an.

Resposta

p divide a_{0} e q divide a_{n}.

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