Desafio 2. Seja
(
natural e
) um polinômio com coeficientes inteiros. Seja
um número racional com
e
primos entre si. Se
é raiz de
, prove que
é divisor de
e
é divisor de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema da Raiz Racional: dado um polinômio com coeficientes inteiros
e uma raiz racional escrita em forma irredutível
Passo 2
Começamos avaliando
em
e igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 3
Observe que, nesse somatório,
- todos os termos
com têm um fator , - o único termo sem
explícito é .
Logo podemos reescrever como
onde
mostra que
divide o produto
.
Passo 4
Como
e
são primos entre si,
não pode dividir
. Pelo lema de Gauss (ou propriedade básica de divisibilidade), se
e
, então
. Assim provamos a primeira parte:
divide
.
Passo 5
De modo análogo, na mesma expressão
agora notamos que todos os termos com índice
com
. Isso implica
mostrando que
Passo 6
Portanto, concluímos que qualquer raiz racional
irreduzível de um polinômio inteiro satisfaz
e
.
Resposta
p divide a_{0} e q divide a_{n}.