Calcule a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(b) 4 y^prime prime+9 y=12 y^prime

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y'' + 9y = 12y'
O que vamos precisar é: colocar na forma padrão ay'' + by' + cy = 0, montar a equação característica, resolver as raízes e usar a forma da solução geral.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão subtraindo 12y' de ambos os lados:
4y'' - 12y' + 9y = 0

Passo 3

Introduzimos a equação característica associada, trocando ymapsto e^rx:
4r^2 - 12r + 9 = 0

Passo 4

Calculamos o discriminante
De<a = (-12)^2 - 4 cdot 4 cdot 9 = 144 - 144 = 0
Como De<a=0, há uma raiz dupla.

Passo 5

A raiz única é
r = 122cdot4 = 128 = 32
Para raiz dupla r, a forma geral da solução é
y(x) = l(C1 + C2xr)e^rx

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^32 x

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