Questão 4: (10 pontos) Determine a derivada de 3 x^2+4 y^2=16.
6 x+8 y y^prime & =0 y^prime & =-6 x8 y=-3 x4 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos y'=dydx a partir da curva implícita
3x^2+4y^2=16
O conteúdo-chave aqui é diferenciação implícita: vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x e usar a regra da cadeia para o termo y^2.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x, obtemos
ddxl(3x^2r)+ddxl(4y^2r) =ddx(16)
Aplicando as regras:
ddx(3x^2)=6x, ddx(4y^2)=4cdot 2ycdot y'=8y,y', ddx(16)=0
Logo,
6x + 8y,y' = 0

Passo 3

Agora isolamos y'. Subtraindo 6x e dividindo por 8y, vem
8y,y' = -6x Longrightarrow y' = -6x8y = -3x4y

Resposta

y' = -3x4y

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