Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \cdot e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^ne^-n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta e séries geométricas.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^ne^-nr| = sumn=1^inftye^-n
Essa é uma série geométrica de primeiro termo e^-1 e razão
r = e^-1
Como lvert rrvert = e^-1<1, essa série geométrica converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência da série original.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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