Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
t y^{\prime}-y=t  -  t-\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
t\,y' - y = t - t - \operatorname{sen} t.
Note que t - t = 0, logo a equação fica
t\,y' - y = -\operatorname{sen} t.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por t (supondo t\neq0):
y' - \frac{1}{t}\,y = -\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
Aqui p(t) = -\tfrac1t e q(t) = -\tfrac{\operatorname{sen} t}{t}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac1t\,dt\Bigr) = \exp(-\ln|t|) = \frac{1}{t}.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=1/t, obtemos
\frac{1}{t}\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \tfrac{y}{t}, pois
\biggl(\frac{y}{t}\biggr)' = \frac{t\,y' - y}{t^2} = \frac{1}{t}\,y' - \frac{1}{t^2}\,y.
Portanto
\biggl(\frac{y}{t}\biggr)' = -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}.
Agora integramos em t.

Passo 4

Vamos calcular
\int -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}\,dt.
Use integração por partes em \int \frac{\operatorname{sen} t}{t^2}\,dt, com
u = \operatorname{sen} t,\quad dv = t^{-2}dt \;\Longrightarrow\; du = \cos t\,dt,\quad v = -\frac{1}{t}.
Então
\int \frac{\operatorname{sen} t}{t^2}\,dt = u\,v - \int v\,du = -\frac{\operatorname{sen} t}{t} + \int \frac{\cos t}{t}\,dt.
Multiplicando por -1,
\int -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}\,dt = \frac{\operatorname{sen} t}{t} - \int \frac{\cos t}{t}\,dt + C.

Passo 5

Voltando a \bigl(\frac{y}{t}\bigr)' = -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2}, obtemos
\frac{y}{t} = \frac{\operatorname{sen} t}{t} - \int \frac{\cos t}{t}\,dt + C.
Multiplicando tudo por t, a solução geral é
y(t) = \operatorname{sen} t - t\int \frac{\cos t}{t}\,dt + C\,t.
Para evitar ambiguidade no nome da variável na integral, podemos escrever
y(t) = C\,t + \operatorname{sen} t - t \int^{\,t}_{\,t_{0}} \frac{\cos u}{u}\,du,
onde t_{0} é uma constante de referência que fica absorvida em C.

Resposta

y(t) = C\,t + \operatorname{sen} t \;-\; t\int^{\,t} \frac{\cos u}{u}\,du.

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