Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
\left(x^{2}+x y-3 y^{2}\right) d x-\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+x y-3 y^{2}\bigr)\,dx-\bigl(x^{2}+2x y\bigr)\,dy=0
e pede a solução usando substituição apropriada. Observamos que os dois termos são homogêneos de grau 2 em x,y. Logo, serve a técnica de substituir
y = v x,
transformando a equação em uma de variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y = v x implica
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
M\,dx + N\,dy = 0, \quad M = x^{2}+x y-3y^{2}, \quad N = -\bigl(x^{2}+2x y\bigr),
temos
M\,dx = x^{2}\bigl(1+v-3v^{2}\bigr)\,dx,
N\,dy = -\bigl(x^{2}+2v x^{2}\bigr)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = -x^{2}v(1+2v)\,dx - x^{3}(1+2v)\,dv.

Passo 3

Somando M\,dx+N\,dy=0 e dividindo por x^{2} obtém-se
\bigl(1+v-3v^{2}-v-2v^{2}\bigr)\,dx \;-\; x(1+2v)\,dv = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (1-5v^{2})\,dx - x(1+2v)\,dv = 0.
Isto é equivalente a
\frac{dx}{x} = \frac{1+2v}{1-5v^{2}}\,dv,
uma equação em variáveis separáveis.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1+2v}{1-5v^{2}}\,dv.
No lado esquerdo vem
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert.
No lado direito, note que \tfrac{d}{dv}(1-5v^{2})=-10v. Fazemos a decomposição
\frac{1+2v}{1-5v^{2}} = \frac{-\tfrac{1}{5}\bigl(-10v\bigr) + 1}{1-5v^{2}} = -\frac{1}{5}\,\frac{d(1-5v^{2})}{1-5v^{2}} + \frac{1}{1-5v^{2}}.
Então
\int \frac{1+2v}{1-5v^{2}}\,dv = -\frac{1}{5}\ln\lvert 1-5v^{2}\rvert + \int \frac{dv}{1-5v^{2}}.
Para a segunda integral, faça u=\sqrt{5}\,v, dv = du/\sqrt{5}:
\int \frac{dv}{1-5v^{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\int \frac{du}{1-u^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}\ln\Bigl\lvert\frac{1+u}{1-u}\Bigr\rvert = \frac{1}{2\sqrt{5}}\ln\Bigl\lvert\frac{1+\sqrt{5}v}{1-\sqrt{5}v}\Bigr\rvert.
Reunindo,
\ln\lvert x\rvert = -\frac{1}{5}\ln\lvert 1-5v^{2}\rvert + \frac{1}{2\sqrt{5}}\ln\Bigl\lvert\frac{1+\sqrt{5}v}{1-\sqrt{5}v}\Bigr\rvert + C.

Passo 5

Voltando a v=y/x, a solução implícita é
\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{5}\ln\bigl\lvert 1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\bigr\rvert - \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln\Bigl\lvert\frac{1+\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}}{1-\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}}\Bigr\rvert = C.

Resposta

\boxed{ \ln\lvert x\rvert + \frac{1}{5}\ln\bigl\lvert 1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\bigr\rvert - \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln\!\Bigl\lvert\frac{1+\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}}{1-\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}}\Bigr\rvert = C }.

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