Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
3 e^{x} \tan y d x+\left(1-e^{x}\right) \operatorname{sec} ^{2} y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem em forma de diferencial total:
3e^{x}\tan y\,dx + \bigl(1 - e^{x}\bigr)\operatorname{sec}^{2}y\,dy = 0.
O que temos aqui é uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. O método que vamos usar é procurar um fator integrante que torne a forma exata.

Passo 2

Verificamos se já é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 3e^{x}\operatorname{sec}^{2}y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -e^{x}\operatorname{sec}^{2}y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata. Em seguida testamos um fator integrante \mu(x). Para isso computamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{3e^{x}\operatorname{sec}^{2}y - \bigl(-e^{x}\operatorname{sec}^{2}y\bigr)}{(1 - e^{x})\operatorname{sec}^{2}y} = \frac{4e^{x}}{1 - e^{x}},
que depende só de x. Logo existe \mu(x).

Passo 3

Determinamos \mu(x) como
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\!\int \frac{4e^{x}}{1 - e^{x}}\,dx\Bigr).
Fazendo u = 1 - e^{x}, du = -e^{x}dx, obtemos
\int \frac{4e^{x}}{1 - e^{x}}\,dx = -4\int u^{-1}\,du = -4\ln\lvert u\rvert = -4\ln\lvert1 - e^{x}\rvert.
Portanto
\mu(x) = (1 - e^{x})^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
M^* = 3e^{x}\tan y\,(1 - e^{x})^{-4}, \quad N^* = (1 - e^{x})\operatorname{sec}^{2}y\,(1 - e^{x})^{-4} = \operatorname{sec}^{2}y\,(1 - e^{x})^{-3}.
Agora M^*\,dx + N^*\,dy é exata. Procuramos \Psi(x,y) tal que
\Psi_x = M^* e \Psi_y = N^*.
Integramos \Psi_x em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int 3e^{x}\tan y\,(1 - e^{x})^{-4}\,dx + H(y).
Usando u = 1 - e^{x}, obtemos
\int 3e^{x}(1 - e^{x})^{-4}\,dx = \int -3u^{-4}\,du = u^{-3} = (1 - e^{x})^{-3}.
Logo
\Psi(x,y) = \tan y\,(1 - e^{x})^{-3} + H(y).

Passo 5

Derivando em relação a y:
\Psi_y = \operatorname{sec}^{2}y\,(1 - e^{x})^{-3} + H'(y)
que deve ser igual a N^* = \operatorname{sec}^{2}y\,(1 - e^{x})^{-3}. Logo H'(y)=0, ou seja, H é constante.
A condição implícita de solução é
\Psi(x,y) = \tan y\,(1 - e^{x})^{-3} = C,
onde C é constante de integração.

Resposta

\tan y\,(1 - e^{x})^{-3} = C,
ou equivalentemente
y = \arctan\!\bigl(C\,(1 - e^{x})^{3}\bigr).

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