Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem em forma de diferencial total:
O que temos aqui é uma forma
. O método que vamos usar é procurar um fator integrante que torne a forma exata.
Passo 2
Verificamos se já é exata calculando
Como
, não é exata. Em seguida testamos um fator integrante
. Para isso computamos
que depende só de
. Logo existe
.
Passo 3
Determinamos
como
Fazendo
,
, obtemos
Portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora
é exata. Procuramos
tal que
e
.
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Usando
, obtemos
Logo
Passo 5
Derivando em relação a
:
que deve ser igual a
. Logo
, ou seja,
é constante.
A condição implícita de solução é
onde
é constante de integração.
Resposta
ou equivalentemente