Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
\frac{d y}{d x}=\frac{y+3 x}{3 x+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{y + 3x}{3x + y}
Usaremos o fato de que o numerador e o denominador são homogêneos de grau 1 em x,y. Logo, fazemos a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Derivando y=v x em relação a x, obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + 3x}{3x + vx} = \frac{x(v+3)}{x(3+v)} = 1.

Passo 3

Isolando dv/dx, temos
x\frac{dv}{dx} = 1 - v \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{1 - v} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{1 - v} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\ln\bigl|1 - v\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 4

Reescrevendo a constante de integração, obtemos
\ln\bigl|1 - v\bigr| = -\ln\bigl|x\bigr| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad |1 - v| = \frac{C_2}{|x|}.
Para simplificar, escrevemos
1 - v = \frac{K}{x},
onde K é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável original y = v x, temos
1 - \frac{y}{x} = \frac{K}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x - y}{x} = \frac{K}{x} \quad\Longrightarrow\quad x - y = K \quad\Longrightarrow\quad y = x - K.
Renomeando -K por C, a solução geral fica
y = x + C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = x + C,
onde C é constante de integração.

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