Para a função
faça:
determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você tem aí. A gente precisa analisar a função $ f(x) = \frac{x{2}+3}{x{2}+1} $ e descobrir se ela tem assíntotas verticais e horizontais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Matemática sobre assíntotas de funções racionais. Vamo que vamo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem em pontos onde a função “explode”, ou seja, onde a divisão dá problema. Isso geralmente acontece quando o denominador é igual a zero e o numerador não é. Então, precisamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Resolvendo $ x^{2} + 1 = 0 $:
Aqui, percebemos que não existe nenhum número real que, ao ser elevado ao quadrado, dê um número negativo. Então, não tem solução real para essa equação. Isso quer dizer que o denominador nunca é zero para valores reais de $ x $.
Passo 4
Como não há valores de $ x $ que fazem o denominador zero, não existem assíntotas verticais para a função $ f(x) $.
Passo 5
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ tende para mais ou menos infinito. Para encontrá-las em funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador.
No nosso caso, o grau do numerador $ x^{2}+3 $ é 2 e o grau do denominador $ x^{2}+1 $ também é 2.
Passo 6
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de $ x^{2} $ é 1, e no denominador também é 1.
Então, a assíntota horizontal é:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x{2}+3}{x{2}+1} $ não possui assíntotas verticais e tem uma assíntota horizontal em $ y = 1 $.