Encontre a solução particular para a equação diferencial abaixo com
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial:
- Equação:
- Condição inicial:
O que é pedido:
- Encontrar a solução particular
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial .
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve o termo
multiplicando , portanto não se pode dividir por sem considerar o caso . A condição inicial está em , que é , então podemos trabalhar no intervalo onde .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
.
Dividindo a equação dada por
(válido para
; e como temos
na condição inicial, vamos trabalhar em
):
Aqui identificamos
Passo 3
Explicar e determinar o fator integrante. Para uma equação linear de primeira ordem
, o fator integrante
é definido por
Motivação curta: multiplicando a equação por
obtemos
, o que transforma a EDO numa igualdade integrável diretamente.
Calcular
com
:
Tomando
para o fator integrante (constante multiplicativa não altera o resultado), obtemos
Como estamos trabalhando com
(por causa da condição inicial
), podemos simplificar
e usar
Passo 4
Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante
. A equação
multiplicada por
vira
No nosso caso isso dá
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora calcular
. Usamos integração por partes: tomar
e
. Então
e
. Pela fórmula
,
Substituindo (absorvendo
em
):
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral:
Simplificando
, obtemos a forma conveniente
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Pelo enunciado,
, logo
e portanto
.
Substituindo
na solução geral:
Também é possível escrever de forma combinada: