Encontre a solução particular para a equação diferencial abaixo com y(1)=1 :
x \frac{d y}{d x}+(x+1) y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial:
  • Equação: x\frac{dy}{dx} + (x+1)y = x.
  • Condição inicial: y(1)=1.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução particular y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(1)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve o termo x multiplicando \dfrac{dy}{dx}, portanto não se pode dividir por x sem considerar o caso x=0. A condição inicial está em x=1, que é >0, então podemos trabalhar no intervalo onde x>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x.
Dividindo a equação dada por x (válido para x\neq0; e como temos x=1 na condição inicial, vamos trabalhar em x>0):
\frac{dy}{dx} + \left(1+\frac{1}{x}\right) y = 1.
Aqui identificamos
P(x)=1+\frac{1}{x},\qquad Q(x)=1.

Passo 3

Explicar e determinar o fator integrante. Para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Motivação curta: multiplicando a equação por \mu(x) obtemos \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x), o que transforma a EDO numa igualdade integrável diretamente.
Calcular \mu(x) com P(x)=1+\dfrac{1}{x}:
\int P(x)\,dx=\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx = x + \ln|x| + C.
Tomando C=0 para o fator integrante (constante multiplicativa não altera o resultado), obtemos
\mu(x)=e^{x+\ln|x|}=e^{x}\,|x|.
Como estamos trabalhando com x>0 (por causa da condição inicial x=1), podemos simplificar |x|=x e usar
\mu(x)=x e^{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante \mu(x)=x e^{x}. A equação \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) multiplicada por \mu vira
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
No nosso caso isso dá
\frac{d}{dx}\big(x e^{x} y\big)=x e^{x}\cdot 1 = x e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
x e^{x} y = \int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Agora calcular \int x e^{x}\,dx. Usamos integração por partes: tomar u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C' = e^{x}(x-1) + C'.
Substituindo (absorvendo C' em C):
x e^{x} y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral:
y = \frac{e^{x}(x-1) + C}{x e^{x}} = \frac{x-1}{x} + \frac{C}{x e^{x}}.
Simplificando \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}, obtemos a forma conveniente
y(x)=1-\frac{1}{x} + \frac{C}{x e^{x}}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1 em y(x):
y(1)=1-\frac{1}{1} + \frac{C}{1\cdot e^{1}} = 1-1 + \frac{C}{e} = \frac{C}{e}.
Pelo enunciado, y(1)=1, logo \dfrac{C}{e}=1 e portanto C=e.
Substituindo C=e na solução geral:
y(x)=1-\frac{1}{x} + \frac{e}{x e^{x}} = 1-\frac{1}{x} + \frac{e^{1-x}}{x}.
Também é possível escrever de forma combinada:
y(x)=1+\frac{e^{1-x}-1}{x}.

Resposta

y(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e^{1-x}}{x}.

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