Calcule a solução em série centrada no ponto ordinário x=0 de cada uma das EDOs abaixo:
(d) \left(x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências centrada em x=0 da EDO
\bigl(x^{2}+2\bigr)y''+3x\,y'-y=0.
Isso é um ponto ordinário pois o coeficiente de y'' é não nulo em x=0. Vamos assumir uma solução
\displaystyle y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Partimos de
y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n, \quad y'=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n x^{n-2}.

Passo 3

Substituindo em \bigl(x^{2}+2\bigr)y''+3x\,y'-y=0 obtemos
x^2\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} +2\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} +3x\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} -\sum_{n=0}^\infty a_n x^n =0.
O primeiro termo vira \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n. O segundo reindexado com k=n-2 fica
2\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k.
Os dois outros são
\displaystyle 3\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n e \displaystyle -\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.

Passo 4

Reunindo tudo como soma em potências de x^n (para n\ge0) e igualando o coeficiente de x^n a zero, encontra-se
\bigl[n(n-1)+3n-1\bigr]a_n +2\,(n+2)(n+1)\,a_{n+2} =0.
Como n(n-1)+3n-1=n^2+2n-1, a recorrência é
a_{n+2} =-\frac{n^2+2n-1}{2\,(n+2)(n+1)}\,a_n, \qquad n\ge0.

Passo 5

Temos duas constantes livres a_0 e a_1, gerando duas soluções básicas em série par e ímpar. Calculando os primeiros termos:
  • Para a_0:
    a_2=\tfrac{1}{4}a_0,
    a_4=-\tfrac{7}{96}a_0, ···
  • Para a_1:
    a_3=-\tfrac{1}{6}a_1, ···
Logo as duas séries são
y_1(x)=1+\frac{x^2}{4}-\frac{7x^4}{96}+\cdots, \qquad y_2(x)=x-\frac{x^3}{6}+\cdots,
e a solução geral é combinação linear.

Resposta

y(x) =C_1\Bigl(1+\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{7x^4}{96}+\cdots\Bigr) +C_2\Bigl(x-\tfrac{x^3}{6}+\cdots\Bigr),
com C_1=a_0 e C_2=a_1.

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