Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
(h) x^{2}\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+(2 / x) y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x^{2}\bigl(1-x^{2}\bigr)y''+\frac{2}{x}\,y'+4\,y=0
e pede para encontrar os pontos singulares e classificá-los como regulares ou irregulares.
Conteúdo: segundo-ordem linear
a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0
onde pontos singulares são as raízes de a_2(x)=0 ou pontos em que p(x)=a_1(x)/a_2(x) e q(x)=a_0(x)/a_2(x) deixam de ser analíticos. Um ponto x_0 singular é regular se (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2q(x) forem analíticos em x_0; caso contrário, é irregular.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
dividindo tudo por a_2(x)=x^2(1-x^2). Assim
p(x)=\frac{a_1(x)}{a_2(x)} =\frac{\tfrac{2}{x}}{x^2(1-x^2)} =\frac{2}{x^3(1-x^2)},
q(x)=\frac{a_0(x)}{a_2(x)} =\frac{4}{x^2(1-x^2)}.

Passo 3

As singularidades ocorrem onde a_2(x)=0 ou p,q não são analíticos. Logo
x^2(1-x^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;x=1,\;x=-1.

Passo 4

Classificação em x_0=0. Perto de zero temos
p(x)\sim\frac{2}{x^3},\qquad q(x)\sim\frac{4}{x^2}.
Então
(x-0)\,p(x)\sim2\,x^{-2}\quad(\text{não analítico}), \qquad (x-0)^2\,q(x)\sim4\quad(\text{analítico}).ãíí
Como (x-0)p(x) diverge, x=0 é singular irregular.

Passo 5

Classificação em x_0=1. Escrevendo x=1+t com t\to0, temos
1-x^2=-(x-1)(x+1)\sim-2t,
p(x)=\frac{2}{x^3(1-x^2)}\sim\frac{2}{1\cdot(-2t)}=-\frac1t, \qquad q(x)=\frac{4}{x^2(1-x^2)}\sim-\frac{2}{t}.
Logo
(x-1)\,p(x)\sim -1,\quad (x-1)^2\,q(x)\sim0,
ambos analíticos em x=1. Portanto x=1 é singular regular.

Passo 6

Pela simetria em x=-1 (já que 1-x^2 tem fator (x+1)), o mesmo raciocínio mostra que em x=-1 os produtos (x+1)p(x) e (x+1)^2q(x) são analíticos. Assim x=-1 é singular regular.

Resposta

Pontos singulares e classificação:
x=0: singular irregular
x=1: singular regular
x=-1: singular regular

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