Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
(i) \left(1-x^{2}\right)^{2} y^{\prime \prime}+x(1-x) y^{\prime}+(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
(1 - x^2)^2\,y'' + x(1 - x)\,y' + (1 + x)\,y = 0
e pede para achar os pontos singulares (ou seja, os x em que o coeficiente de y'' se anula) e classificá-los em regulares ou irregulares. Vamos usar o fato de que, na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
um ponto x_0 em que o coeficiente de y'' zera é singular, e é regular se (x - x_0)\,p(x) e (x - x_0)^2\,q(x) são analíticas em x_0; caso contrário é irregular.

Passo 2

Determinamos onde o coeficiente de y'', que é (1 - x^2)^2, se anula.
(1 - x^2)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \;\text{ou}\; x = -1.
Logo, os únicos pontos singulares são x=1 e x=-1.

Passo 3

Vamos passar para a forma padrão dividindo tudo por (1 - x^2)^2. Definimos
p(x) = \frac{x(1 - x)}{(1 - x^2)^2}, \quad q(x) = \frac{1 + x}{(1 - x^2)^2}.
Como 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x), simplificamos:
p(x) = \frac{x}{(1 - x)(1 + x)^2}, \qquad q(x) = \frac{1}{(1 - x)^2(1 + x)}.

Passo 4

Analisando em x_0 = 1:
  • Calculemos (x - 1)\,p(x): (x - 1)\,p(x) = \frac{x\,(x - 1)}{(1 - x)(1 + x)^2} = -\,\frac{x}{(1 + x)^2},que é claramente analítica em x=1.
  • Calculemos (x - 1)^2\,q(x): (x - 1)^2\,q(x) = \frac{(x - 1)^2}{(1 - x)^2(1 + x)} = \frac{1}{1 + x},também analítica em x=1.
Como ambos são analíticos em x=1, concluímos que x=1 é ponto singular regular.

Passo 5

Analisando em x_0 = -1:
  • Calculemos (x + 1)\,p(x): (x + 1)\,p(x) = \frac{x}{(1 - x)(1 + x)},cujo denominador se anula em x=-1, de modo que (x + 1)\,p(x) não é analítica aí.
  • Mesmo sem verificar (x + 1)^2\,q(x), basta notar que (x + 1)\,p(x) diverge em x=-1, logo não satisfaz condição de singularidade regular.
Portanto, x=-1 é ponto singular irregular.

Resposta

x =1: singular regular
x = - 1: singular irregular

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