Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
e pede para achar os pontos singulares (ou seja, os
em que o coeficiente de
se anula) e classificá-los em regulares ou irregulares. Vamos usar o fato de que, na forma padrão
um ponto
em que o coeficiente de
zera é singular, e é regular se
e
são analíticas em
; caso contrário é irregular.
Passo 2
Determinamos onde o coeficiente de
, que é
, se anula.
Logo, os únicos pontos singulares são
e
.
Passo 3
Vamos passar para a forma padrão dividindo tudo por
. Definimos
Como
, simplificamos:
Passo 4
Analisando em
:
- Calculemos
: que é claramente analítica em . - Calculemos
: também analítica em .
Como ambos são analíticos em
, concluímos que
é ponto singular regular.
Passo 5
Analisando em
:
- Calculemos
: cujo denominador se anula em , de modo que não é analítica aí. - Mesmo sem verificar
, basta notar que diverge em , logo não satisfaz condição de singularidade regular.
Portanto,
é ponto singular irregular.
Resposta
x
: singular regular
x -
: singular irregular
x