Questão (7(2,0)). Calcule, utilizando as propriedades cic limite os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{3}-6 x-3}{6 x^{2}+28 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2}.
O conteúdo é limites de funções racionais, e vamos usar a comparação dos graus do numerador e do denominador para decidir o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Observe os graus dos polinômios: o numerador 5x^{3}-6x-3 é de grau 3 e o denominador 6x^{2}+28x+2 é de grau 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a razão tende a crescer sem limite, ou seja, tende a infinito ou menos infinito conforme o sinal do termo dominante.

Passo 3

Para ver isso de forma mais clara, fatoramos a maior potência de x que aparece no denominador, que é x^{2}, tanto em cima quanto embaixo:
\frac{5x^{3}-6x-3}{6x^{2}+28x+2} =\frac{x^{2}\bigl(5x - \tfrac{6}{x} - \tfrac{3}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(6 + \tfrac{28}{x} + \tfrac{2}{x^{2}}\bigr)} =\frac{5x - 6/x - 3/x^{2}}{6 + 28/x + 2/x^{2}}.

Passo 4

Agora, ao fazermos x\to\infty, as frações \tfrac{6}{x}, \tfrac{3}{x^{2}}, \tfrac{28}{x} e \tfrac{2}{x^{2}} vão a zero. Logo a expressão fica assintoticamente
\frac{5x}{6}
quando x é muito grande. Como \frac{5x}{6}\to+\infty para x\to\infty, concluímos que o limite é +\infty.

Resposta

\infty

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