Calcule as soluções não triviais (i.e., a solução é diferente de zero em pelo menos um ponto) dos seguintes problemas de valores de contorno, onde
é um número positivo (não é PVI, mas usamos a solução geral da EDO e impomos as condições em
e
); veja o texto Questões da Lista 5 ;
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções não triviais do problema de valores de contorno para a EDO de segunda ordem
com as condições em x=0 e x=\pi: y(0)=0 e y(\pi)=0. É um clássico problema de autovalores para EDO homogênea, onde precisamos achar os valores de k que permitem soluções diferentes de zero.
Passo 2
A solução geral da equação homogênea y’’+k^2y=0 é dada por
porque essas funções são independentes e satisfazem a EDO de coeficientes constantes.
Passo 3
Impondo a condição em x=0, temos y(0)=0, ou seja
Logo A=0 e a solução reduz-se a
Passo 4
Agora aplicamos y(\pi)=0:
Para obter uma solução não trivial, B\neq0, portanto exigimos
onde n é inteiro.
Passo 5
Como o enunciado pede k>0, concluímos n\in\mathbb{N}. Assim as soluções não triviais ocorrem para k=n e os autovetores (autofunções) são
com C constante arbitrária não nula.
Resposta
Os autovalores são k_n=n, n\in\mathbb{N}, e as soluções não triviais correspondentes são y_n(x)=C\sin(nx), com C\neq0.