Calcule as soluções não triviais (i.e., a solução é diferente de zero em pelo menos um ponto) dos seguintes problemas de valores de contorno, onde k é um número positivo (não é PVI, mas usamos a solução geral da EDO e impomos as condições em x=0 e x=pi ); veja o texto Questões da Lista 5 ;
(b) ly^prime prime+k^2 y=0,0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções não triviais do problema de valores de contorno para a EDO de segunda ordem
y''+k^2y=0,
com as condições em x=0 e x=\pi: y(0)=0 e y(\pi)=0. É um clássico problema de autovalores para EDO homogênea, onde precisamos achar os valores de k que permitem soluções diferentes de zero.

Passo 2

A solução geral da equação homogênea y’’+k^2y=0 é dada por
y(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
porque essas funções são independentes e satisfazem a EDO de coeficientes constantes.

Passo 3

Impondo a condição em x=0, temos y(0)=0, ou seja
Acos(0)+Bsin(0)=A=0
Logo A=0 e a solução reduz-se a
y(x)=Bsin(kx)

Passo 4

Agora aplicamos y(\pi)=0:
Bsin(kpi)=0
Para obter uma solução não trivial, B\neq0, portanto exigimos
sin(kpi)=0 implies kpi=npi implies k=n,
onde n é inteiro.

Passo 5

Como o enunciado pede k>0, concluímos n\in\mathbb{N}. Assim as soluções não triviais ocorrem para k=n e os autovetores (autofunções) são
yn(x)=Csin(nx),
com C constante arbitrária não nula.

Resposta

Os autovalores são k_n=n, n\in\mathbb{N}, e as soluções não triviais correspondentes são y_n(x)=C\sin(nx), com C\neq0.

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