Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui: precisamos analisar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se der convergir, também vamos achar o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e integração de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. O intervalo de integração vai de
até
, ou seja, tem um limite de integração que vai até o infinito. Além disso, a função
tem uma assíntota vertical em
, mas como nosso intervalo é de
a
, não vamos nos preocupar com essa assíntota aqui.
Passo 3
Para resolver a integral com limite infinito, a gente reescreve usando um limite. Então, a integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. Para isso, usamos a regra de integração para potências:
Passo 5
Aplicando os limites
e
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.