Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-infty^0 1(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui: precisamos analisar se a integral imprópria integral-infty^0 1(x-1)^3 , dx converge ou diverge. Se der convergir, também vamos achar o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. O intervalo de integração vai de -infty até 0, ou seja, tem um limite de integração que vai até o infinito. Além disso, a função 1(x-1)^3 tem uma assíntota vertical em x = 1, mas como nosso intervalo é de -infty a 0, não vamos nos preocupar com essa assíntota aqui.

Passo 3

Para resolver a integral com limite infinito, a gente reescreve usando um limite. Então, a integral fica assim:
integral-infty^0 1(x-1)^3 , dx = lima to -infty integrala^0 1(x-1)^3 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral 1(x-1)^3 , dx. Para isso, usamos a regra de integração para potências:
integral (x - 1)^-3 , dx = (x - 1)^-2-2 + C = -12(x - 1)^2 + C

Passo 5

Aplicando os limites a e 0, temos:
integrala^0 1(x-1)^3 , dx = [ -12(x - 1)^2 ]a^0 = -12(0 - 1)^2 + 12(a - 1)^2
Simplificando:
-12(1) + 12(a - 1)^2 = -12 + 12(a - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando a to -infty:
lima to -infty ( -12 + 12(a - 1)^2 ) = -12 + 0 = -12

Resposta

A integral converge e seu valor é -12.

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