Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=ln (x+y)

Passo 1

A questão pede o domínio da função de duas variáveis f(x,y)=ln(x+y). O conteúdo envolvido é a definição de ln(u), que só existe para u>0. Vamos precisar aplicar essa condição ao argumento x+y e depois interpretar geometricamente o conjunto resultante no plano.

Passo 2

Para que ln(x+y) esteja bem definida, o argumento deve ser positivo. Logo, impomos
x+y>0
Essa é a única restrição sobre (x,y) no domínio da função.

Passo 3

A desigualdade x+y>0 define um semiplano aberto no plano (x,y). Geometricamente, a fronteira desse semiplano é a reta
x+y=0
ou seja, a reta que passa pela origem com coeficiente angular -1. O domínio é a região acima (ou “acima”, no sentido de valores de y maiores que -x) dessa reta.

Passo 4

Para esboçar, basta desenhar a reta y=-x e sombrear todo o semiplano acima dela, sem incluir a própria reta, pois a desigualdade é estrita.

Resposta

O domínio é o semiplano aberto definido por
D=(x,y)inR^2mid x+y>0

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