Calcule as soluções não triviais (i.e., a solução é diferente de zero em pelo menos um ponto) dos seguintes problemas de valores de contorno, onde k é um número positivo (não é PVI, mas usamos a solução geral da EDO e impomos as condições em x=0 e x=pi ); veja o texto Questões da Lista 5 ;
© ly^prime prime+k^2 y=0,0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO y'' + k^2 y = 0 no intervalo 0 com as condições de contorno y'(0)=0 e y(pi)=0. O conteúdo envolve equações diferenciais de segunda ordem e problemas de valor de contorno. Precisamos encontrar os valores de k>0 que permitem soluções não-triviais e as funções correspondentes.

Passo 2

Escrevemos a solução geral da equação homogênea. Como a EDO é y'' + k^2 y = 0, a solução geral é
y(x) = Acos(kx) + Bsin(kx) onde A e B são constantes.

Passo 3

Impondo a condição y'(0)=0, primeiro calculamos a derivada:
y'(x) = -A ksin(kx) + B kcos(kx)
Em x=0 isso dá
y'(0) = B k = 0 implies B = 0, pois k>0.

Passo 4

Com B=0, a solução vira y(x) = Acos(kx). Agora usamos y(pi)=0:
y(pi) = Acos(kpi) = 0
Para ter solução não-trivial (isto é, Aneq0), precisamos de
cos(kpi) = 0

Passo 5

A condição cos(kpi)=0 ocorre quando
kpi = 2n+12pi, n = 0,1,2,dots
Logo,
kn = 2n+12,
e as soluções associadas são
yn(x) = C cosl(tfrac2n+12xr), Cneq0

Resposta

Os valores de k que permitem soluções não triviais são
kn = 2n+12, n = 0,1,2,dots
e as soluções associadas são
yn(x) = C cosl(tfrac2n+12xr), C neq 0

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