Calcule as soluções não triviais (i.e., a solução é diferente de zero em pelo menos um ponto) dos seguintes problemas de valores de contorno, onde
é um número positivo (não é PVI, mas usamos a solução geral da EDO e impomos as condições em
e
); veja o texto Questões da Lista 5 ;
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Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO
no intervalo
com as condições de contorno
e
. O conteúdo envolve equações diferenciais de segunda ordem e problemas de valor de contorno. Precisamos encontrar os valores de
que permitem soluções não-triviais e as funções correspondentes.
Passo 2
Escrevemos a solução geral da equação homogênea. Como a EDO é
, a solução geral é
Passo 3
Impondo a condição
, primeiro calculamos a derivada:
Em
isso dá
Passo 4
Com
, a solução vira
. Agora usamos
:
Para ter solução não-trivial (isto é,
), precisamos de
Passo 5
A condição
ocorre quando
Logo,
e as soluções associadas são
Resposta
Os valores de
que permitem soluções não triviais são
e as soluções associadas são