Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria $ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^{2}} , dx $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais impróprias, onde os limites de integração são infinitos. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como calcular seus valores, se forem convergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara, lembrando que, como temos um limite infinito, precisamos expressar isso como um limite. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a antiderivada da função $ \frac{x}{1+x^{2}} $. Para isso, usamos uma técnica de substituição. Vamos deixar $ u = 1 + x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{1}{2} du $.
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração da nossa expressão original:
Simplificando:
Como $ t $ tende ao infinito, $ 1 + t^{2} $ também tende ao infinito, e o logaritmo de algo que vai ao infinito também tende ao infinito. Então:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^{2}} , dx $ diverge, ou seja, não possui um valor finito.