Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral0^infty x1+x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria $ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^{2}} , dx $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais impróprias, onde os limites de integração são infinitos. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como calcular seus valores, se forem convergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara, lembrando que, como temos um limite infinito, precisamos expressar isso como um limite. Então, a integral fica:
integral0^infty x1+x^2 , dx = limt to infty integral0^t x1+x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a antiderivada da função $ \frac{x}{1+x^{2}} $. Para isso, usamos uma técnica de substituição. Vamos deixar $ u = 1 + x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{1}{2} du $.
Substituindo na integral, temos:
x1+x^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração da nossa expressão original:
limt to infty [ 12 ln(1+x^2) ]0^t = limt to infty ( 12 ln(1+t^2) - 12 ln(1+0^2) )
Simplificando:
= limt to infty 12 ln(1+t^2) - 12 ln(1) = limt to infty 12 ln(1+t^2)
Como $ t $ tende ao infinito, $ 1 + t^{2} $ também tende ao infinito, e o logaritmo de algo que vai ao infinito também tende ao infinito. Então:
t

Resposta

A integral $ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^{2}} , dx $ diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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