Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma dos primeiros 20 termos da sequência/serie
Informações fornecidas que vamos usar:
- O primeiro termo é
. - Cada termo é obtido multiplicando o anterior por
, ou seja a razão comum é . - Precisamos da soma dos primeiros
termos.
Passo 2
Identificar o tipo de série e a fórmula que vamos usar.
Quando os termos crescem multiplicando por uma razão fixa
, temos uma progressão geométrica. A soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
(com
) é dada pela fórmula
Explicando cada símbolo:
-
é a soma dos primeiros termos. -
é o primeiro termo da sequência. -
é a razão comum (o número pelo qual multiplicamos cada termo para obter o próximo). -
é o número de termos que somamos.
Essa fórmula vem de um truquezinho clássico: escrever, multiplicar por , subtrair e eliminar termos para resolver para . Se quiser, explico esse truque mais detalhadamente.
Passo 3
Aplicar a fórmula aos dados do problema. Substituindo
,
e
na fórmula:
Isso já é uma forma exata e correta da soma; agora vamos calcular o valor inteiro correspondente.
Passo 4
Calcular
de forma segura, passo a passo (para poder fazer sem calculadora seguindo potências conhecidas).
Podemos usar potências intermediárias:
Agora
Calculemos
:
mas para simplificar lembra que
(é uma potência padrão que vale decorar ou calcular). Então
Em seguida
Agora faça
por expansão:
Calcule cada parcela:
Somando:
Portanto
Passo 5
Substituir em
e finalizar a conta:
Passo 6
Verificação rápida com um exemplo pequeno para ganhar confiança: para os primeiros 4 termos
a fórmula dá
e somando diretamente
. Então a fórmula está coerente.