Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série 1+3+9+27+\ldots.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos primeiros 20 termos da sequência/serie
1+3+9+27+\ldots
Informações fornecidas que vamos usar:
  • O primeiro termo é \,a_1=1.
  • Cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3, ou seja a razão comum é \,r=3.
  • Precisamos da soma dos primeiros n=20 termos.

Passo 2

Identificar o tipo de série e a fórmula que vamos usar.
Quando os termos crescem multiplicando por uma razão fixa r, temos uma progressão geométrica. A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a_1 e razão r (com r\neq1) é dada pela fórmula
S_n = a_1\frac{r^n-1}{r-1}.
Explicando cada símbolo:
  • S_n é a soma dos primeiros n termos.
  • a_1 é o primeiro termo da sequência.
  • r é a razão comum (o número pelo qual multiplicamos cada termo para obter o próximo).
  • n é o número de termos que somamos.
    Essa fórmula vem de um truquezinho clássico: escrever S_n, multiplicar por r, subtrair e eliminar termos para resolver para S_n. Se quiser, explico esse truque mais detalhadamente.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos dados do problema. Substituindo a_1=1, r=3 e n=20 na fórmula:
S_{20} = 1\cdot\frac{3^{20}-1}{3-1} = \frac{3^{20}-1}{2}.
Isso já é uma forma exata e correta da soma; agora vamos calcular o valor inteiro correspondente.

Passo 4

Calcular \,3^{20} de forma segura, passo a passo (para poder fazer sem calculadora seguindo potências conhecidas).
Podemos usar potências intermediárias:
3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243.
Agora
3^{10}=(3^5)^2=243^2.
Calculemos 243^2:
243^2 = (200+40+3)^2 = 200^2+2\cdot200\cdot40+2\cdot200\cdot3+40^2+2\cdot40\cdot3+3^2,
mas para simplificar lembra que 243^2=59049 (é uma potência padrão que vale decorar ou calcular). Então
3^{10}=59049.
Em seguida
3^{20}=(3^{10})^2=59049^2.
Agora faça 59049^2 por expansão:
59049^2=(59000+49)^2=59000^2+2\cdot59000\cdot49+49^2.
Calcule cada parcela:
59000^2=3\,481\,000\,000,
2\cdot59000\cdot49=2\cdot2\,891\,000=5\,782\,000,
49^2=2\,401.
Somando:
59049^2=3\,481\,000\,000+5\,782\,000+2\,401=3\,486\,784\,401.
Portanto
3^{20}=3\,486\,784\,401.

Passo 5

Substituir em \,S_{20}=\dfrac{3^{20}-1}{2} e finalizar a conta:
S_{20}=\frac{3\,486\,784\,401-1}{2}=\frac{3\,486\,784\,400}{2}=1\,743\,392\,200.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo pequeno para ganhar confiança: para os primeiros 4 termos 1+3+9+27 a fórmula dá
S_4=\frac{3^4-1}{2}=\frac{81-1}{2}=\frac{80}{2}=40,
e somando diretamente 1+3+9+27=40. Então a fórmula está coerente.

Resposta

1\,743\,392\,200

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