Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a soma das 10 parcelas iniciais da sequência/serie
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- primeira parcela:
; - segunda parcela:
; - terceira parcela:
; - a série continua seguindo o mesmo padrão até a 10ª parcela;
- o que se pede é a soma das 10 primeiras parcelas (ou seja, soma das parcelas
a ).
Passo 2
Observar o padrão das parcelas e definir notação útil:
- Note que cada parcela é obtida multiplicando a anterior por
. - Vou chamar a primeira parcela de
. Então . - Vou chamar a razão comum de
. Então . - A
-ésima parcela pode ser escrita como
Isso significa, por exemplo,
,
, etc. Aqui explico:
é o valor da primeira parcela;
é o fator que multiplica uma parcela para obter a próxima;
é o índice da parcela (1,2,3,…).
Passo 3
Derivar a fórmula para a soma das primeiras
parcelas (a ideia é uma manipulação algébrica simples que é útil na prova).
- Defino a soma parcial
como
- Multiplico ambos os lados por
:
- Subtraindo estas duas equações (primeira menos segunda) cancela quase todos os termos:
- Colocando
no lado esquerdo:
- Isolando
obtemos a fórmula padrão (válida quando ):
Aqui cada símbolo significa:
= soma das primeiras
parcelas;
= primeira parcela;
= razão;
= número de parcelas somadas. Essa é uma demonstração curta e útil para a prova — memorizando-a evita erro.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os valores do problema:
- Temos
, e . - Calcular
. Como , então . - Substituindo na fórmula:
- Simplificar passo a passo: o denominador
. Então
- Calcular
. Assim
- Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
- Se quiser a forma decimal,
.
Passo 5
Interpretação rápida e encorajamento:
- A soma das primeiras 10 parcelas é
, que é muito próxima de . Na verdade, a soma infinita dessa sequência seria exatamente , e a diferença entre e é . - Bom trabalho por encarar a questão: reconhecer o padrão multiplicativo e usar a fórmula reduz muito o esforço na prova. Se quiser, posso mostrar como fica para outros valores de
(ex.: ou ) para treinar.