Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a soma das 10 parcelas iniciais da sequência/serie
1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\ldots
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • primeira parcela: 1;
  • segunda parcela: \tfrac{1}{2};
  • terceira parcela: \tfrac{1}{4};
  • a série continua seguindo o mesmo padrão até a 10ª parcela;
  • o que se pede é a soma das 10 primeiras parcelas (ou seja, soma das parcelas 1 a 10).

Passo 2

Observar o padrão das parcelas e definir notação útil:
  • Note que cada parcela é obtida multiplicando a anterior por \tfrac{1}{2}.
  • Vou chamar a primeira parcela de a. Então \,a=1.
  • Vou chamar a razão comum de r. Então \,r=\tfrac{1}{2}.
  • A k-ésima parcela pode ser escrita como
a_k = a\,r^{\,k-1}.
Isso significa, por exemplo, a_1=a\,r^{0}=1, a_2=a\,r^{1}=1\cdot\tfrac{1}{2}, etc. Aqui explico: a é o valor da primeira parcela; r é o fator que multiplica uma parcela para obter a próxima; k é o índice da parcela (1,2,3,…).

Passo 3

Derivar a fórmula para a soma das primeiras n parcelas (a ideia é uma manipulação algébrica simples que é útil na prova).
  • Defino a soma parcial S_n como
S_n = a + a r + a r^2 + \cdots + a r^{\,n-1}.
  • Multiplico ambos os lados por r:
r S_n = a r + a r^2 + \cdots + a r^{\,n-1} + a r^{\,n}.
  • Subtraindo estas duas equações (primeira menos segunda) cancela quase todos os termos:
S_n - r S_n = a - a r^{\,n}.
  • Colocando S_n(1-r) no lado esquerdo:
S_n(1-r) = a(1 - r^{\,n}).
  • Isolando S_n obtemos a fórmula padrão (válida quando r\neq 1):
S_n = \frac{a\bigl(1-r^{\,n}\bigr)}{1-r}.
Aqui cada símbolo significa: S_n = soma das primeiras n parcelas; a = primeira parcela; r = razão; n = número de parcelas somadas. Essa é uma demonstração curta e útil para a prova — memorizando-a evita erro.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores do problema:
  • Temos a=1, r=\tfrac{1}{2} e n=10.
  • Calcular r^{\,n} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}. Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}, então r^{\,10}=\dfrac{1}{1024}.
  • Substituindo na fórmula:
S_{10}=\frac{1\bigl(1-\tfrac{1}{1024}\bigr)}{1-\tfrac{1}{2}}.
  • Simplificar passo a passo: o denominador 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Então
S_{10}=\frac{1-\tfrac{1}{1024}}{\tfrac{1}{2}}=2\Bigl(1-\tfrac{1}{1024}\Bigr).
  • Calcular 1-\tfrac{1}{1024}=\tfrac{1023}{1024}. Assim
S_{10}=2\cdot\frac{1023}{1024}=\frac{2046}{1024}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
S_{10}=\frac{1023}{512}.
  • Se quiser a forma decimal, \tfrac{1023}{512}\approx 1,998046875.

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento:
  • A soma das primeiras 10 parcelas é \tfrac{1023}{512}, que é muito próxima de 2. Na verdade, a soma infinita dessa sequência seria exatamente 2, e a diferença entre 2 e S_{10} é \tfrac{1}{512}.
  • Bom trabalho por encarar a questão: reconhecer o padrão multiplicativo e usar a fórmula reduz muito o esforço na prova. Se quiser, posso mostrar como fica para outros valores de n (ex.: n=5 ou n=20) para treinar.

Resposta

\dfrac{1023}{512}\approx 1,998046875

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