Seja
a parte da parábola
de
até
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá a parte da parábola
que vai do ponto
até o ponto
. O integrando é a forma diferencial
A pergunta é: qual é o valor da integral
ao longo dessa porção
da parábola, percorrida de
até
.
Informações relevantes dadas:
- A curva
é a porção da parábola definida acima que conecta a . - Os pontos inicial e final são
e . - A forma
está indefinida no ponto (denominador ), então devemos verificar se o caminho passa pela origem (se sim, não dá para usar certos argumentos); se não passa, podemos trabalhar com a função argumento contínua ao longo de .
Passo 2
Vamos mostrar uma identidade útil: em coordenadas polares
tem-se
Prova rápida (passo a passo): escreva
. Então
Agora compute o numerador:
Agrupando termos em
e
, os termos com
se cancelam, e sobra
Portanto
Repare que a nossa forma é exatamente
, ou seja,
. Isso significa que a integral de
ao longo de
é a variação contínua do argumento
de
ao longo do caminho:
desde que escolhamos uma rama contínua de
ao longo de
(isto é, sem pular discontínuos de
).
Passo 3
Primeiro verifiquemos que o caminho não passa pela origem, para garantir que
está bem definida em todo
. Substituindo
na equação da parábola:
Logo
não está na parábola, portanto
ao longo de
e a identidade
é válida ao longo de todo
.
Passo 4
Portanto
onde
é o argumento de
tomado de forma contínua ao longo do trajeto que vai de
a
. Vamos determinar essa variação contínua da
.
Passo 5
Calcule
nos pontos inicial e final, interpretando sempre o argumento de forma contínua ao longo do caminho:
- No ponto inicial
temos (vetor na direção positiva de ). - No ponto final
existem duas representações usuais do argumento: a forma principal (valor entre e ) ou a forma equivalente (somando ). Qual delas usar depende da continuidade ao longo da curva.
Vamos seguir
ao longo da parábola para decidir a rama contínua:
- Para
entre e a parábola tem , por exemplo em temos , então : aumentou de para . - Em
temos o ponto e . - Em
temos (a parábola cruza o eixo negativo ) e aqui .
Até agoravariou continuamente de para conforme nos movemos de para . - Para
a parábola tem e (quadrante III). Ao entrar no quadrante III a continuidade do argumento faz com que continue aumentando além de (em vez de saltar para um valor negativo), ou seja, passamos por ângulos maiores que : por exemplo em calcula-se rad (cerca de ). - No ponto final
o argumento contínuo ao longo do caminho vale
(inverso da representação
adicionando
para manter continuidade a partir de
).
Assim a variação contínua é
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: a forma dada é exatamente
. O caminho parte de
, sobe passando por
e atinge
no ponto
, continua para ângulos maiores que
até terminar em
. Portanto a integral é
, que está entre as alternativas fornecidas.