Seja C a parte da parábola y-\frac{9}{16}+\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0 de (1,0) até (-1,-1). O valor da integral \int_{C} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y é:
Escolha uma opção:
-\frac{\pi}{4}
-\frac{3 \pi}{4}
\pi
\frac{5 \pi}{4}
\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá a parte da parábola
y-\frac{9}{16}+\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0
que vai do ponto (1,0) até o ponto (-1,-1). O integrando é a forma diferencial
\omega = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy.
A pergunta é: qual é o valor da integral
\int_{C}\omega
ao longo dessa porção C da parábola, percorrida de (1,0) até (-1,-1).
Informações relevantes dadas:
  • A curva C é a porção da parábola definida acima que conecta (1,0) a (-1,-1).
  • Os pontos inicial e final são (1,0) e (-1,-1).
  • A forma \omega está indefinida no ponto (0,0) (denominador x^{2}+y^{2}), então devemos verificar se o caminho passa pela origem (se sim, não dá para usar certos argumentos); se não passa, podemos trabalhar com a função argumento \theta contínua ao longo de C.

Passo 2

Vamos mostrar uma identidade útil: em coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) tem-se
\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=d\theta.
Prova rápida (passo a passo): escreva x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Então
dx = dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta, \qquad dy = dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta.
Agora compute o numerador:
-x\,dy+y\,dx = -(r\cos\theta)(dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta) + (r\sin\theta)(dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta).
Agrupando termos em dr e d\theta, os termos com dr se cancelam, e sobra
-x\,dy+y\,dx = -r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\,d\theta = -r^{2}\,d\theta.
Portanto
\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}} = \frac{-x\,dy+y\,dx}{r^{2}} = d\theta.
Repare que a nossa forma é exatamente \omega=( -y\,dx + x\,dy)/(x^2+y^2), ou seja, \omega = d\theta. Isso significa que a integral de \omega ao longo de C é a variação contínua do argumento \theta de (x,y) ao longo do caminho:
\int_{C}\omega = \Delta\theta = \theta(\text{fim})-\theta(\text{início}),í
desde que escolhamos uma rama contínua de \theta ao longo de C (isto é, sem pular discontínuos de 2\pi).

Passo 3

Primeiro verifiquemos que o caminho não passa pela origem, para garantir que \omega está bem definida em todo C. Substituindo (0,0) na equação da parábola:
0-\frac{9}{16}+\left(0-\frac{1}{4}\right)^{2} = -\frac{9}{16}+\frac{1}{16} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}\neq 0.
Logo (0,0) não está na parábola, portanto r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 ao longo de C e a identidade \omega=d\theta é válida ao longo de todo C.

Passo 4

Portanto
\int_{C}\omega = \theta_{\text{final}}-\theta_{\text{inicial}},
onde \theta é o argumento de (x,y) tomado de forma contínua ao longo do trajeto que vai de (1,0) a (-1,-1). Vamos determinar essa variação contínua da \theta.

Passo 5

Calcule \theta nos pontos inicial e final, interpretando sempre o argumento de forma contínua ao longo do caminho:
  • No ponto inicial (1,0) temos \theta_{\text{início}}=0í (vetor na direção positiva de x).
  • No ponto final (-1,-1) existem duas representações usuais do argumento: a forma principal \theta=\!-3\pi/4 (valor entre -\pi e \pi) ou a forma equivalente \theta=5\pi/4 (somando 2\pi). Qual delas usar depende da continuidade ao longo da curva.
Vamos seguir \theta ao longo da parábola para decidir a rama contínua:
  • Para x entre 1 e 0 a parábola tem y>0, por exemplo em x=\tfrac{1}{2} temos y=\tfrac{1}{2}, então \theta=\tfrac{\pi}{4}: \theta aumentou de 0 para \tfrac{\pi}{4}.
  • Em x=0 temos o ponto (0,\tfrac{1}{2}) e \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Em x=-\tfrac{1}{2} temos y=0 (a parábola cruza o eixo negativo x) e aqui \theta=\pi.
    Até agora \theta variou continuamente de 0 para \pi conforme nos movemos de x=1 para x=-\tfrac{1}{2}.
  • Para x<- \tfrac{1}{2} a parábola tem y<0 e x<0 (quadrante III). Ao entrar no quadrante III a continuidade do argumento faz com que \theta continue aumentando além de \pi (em vez de saltar para um valor negativo), ou seja, passamos por ângulos maiores que \pi: por exemplo em x=-\tfrac{3}{4} calcula-se \theta\approx 3{,}66 rad (cerca de 210^\circ).
  • No ponto final (-1,-1) o argumento contínuo ao longo do caminho vale
\theta_{\text{fim}} = 5\pi/4
(inverso da representação -3\pi/4 adicionando 2\pi para manter continuidade a partir de \pi).
Assim a variação contínua é
\Delta\theta = \theta_{\text{fim}}-\theta_{\text{início}} = \frac{5\pi}{4}-0 = \frac{5\pi}{4}.í

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: a forma dada é exatamente d\theta. O caminho parte de \theta=0, sobe passando por \theta=\pi/2 e atinge \theta=\pi no ponto (-1/2,0), continua para ângulos maiores que \pi até terminar em 5\pi/4. Portanto a integral é \tfrac{5\pi}{4}, que está entre as alternativas fornecidas.

Resposta

\frac{5\pi}{4}

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