Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Calcule a medida da base.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a medida da base de um triângulo. As informações dadas são:
- A medida da base, a medida da altura e a medida da área, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G.).
- A razão dessa P.G. é
.
Pergunta clara: qual é a medida da base?
Passo 2
Vamos introduzir variáveis para ficar organizado:
- Seja
a medida da base (o que queremos encontrar). - Seja
a medida da altura. - Seja
a medida da área.
Agora explico a relação em P.G.: numa P.G. de razão
com primeiro termo
, o segundo termo vale
e o terceiro vale
. Em símbolos:
Passo 3
Aplicando isso aos nossos termos (onde
,
,
) e usando
, obtemos:
(Observe que
.)
Passo 4
Agora recordo a fórmula da área de um triângulo em termos da base e da altura: a área é metade do produto da base pela altura. Em símbolos:
Explicação rápida: isso vem da definição geométrica da área de triângulos (comparar com retângulo de mesma base e altura).
Passo 5
Substituo
(do passo 3) na fórmula da área e igualo com a expressão para
obtida pela P.G.:
Primeiro escrevo a área segundo a P.G.:
Primeiro escrevo a área segundo a P.G.:
Pela fórmula da área, substituindo
:
Passo 6
Simplifico a expressão do passo anterior:
Portanto a igualdade entre as duas expressões de
é
Passo 7
Resolvendo a equação
. Como a base de um triângulo não pode ser zero,
, podemos dividir ambos os lados por
:
Agora isolamos
:
Passo 8
Verificação rápida (sanity check): com
temos
e
. Pela fórmula da área:
portanto tudo bate certinho.