Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Calcule a medida da base.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a medida da base de um triângulo. As informações dadas são:
  • A medida da base, a medida da altura e a medida da área, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G.).
  • A razão dessa P.G. é 8.
Pergunta clara: qual é a medida da base?

Passo 2

Vamos introduzir variáveis para ficar organizado:
  • Seja b a medida da base (o que queremos encontrar).
  • Seja h a medida da altura.
  • Seja A a medida da área.
Agora explico a relação em P.G.: numa P.G. de razão r com primeiro termo t_1, o segundo termo vale t_1 r e o terceiro vale t_1 r^2. Em símbolos:
t_2 = t_1 r,\qquad t_3 = t_1 r^2.

Passo 3

Aplicando isso aos nossos termos (onde t_1=b, t_2=h, t_3=A) e usando r=8, obtemos:
h = b\cdot 8
A = b\cdot 8^{2} = b\cdot 64.
(Observe que 8^{2}=64.)

Passo 4

Agora recordo a fórmula da área de um triângulo em termos da base e da altura: a área é metade do produto da base pela altura. Em símbolos:
A = \tfrac{1}{2} b h.
Explicação rápida: isso vem da definição geométrica da área de triângulos (comparar com retângulo de mesma base e altura).

Passo 5

Substituo h (do passo 3) na fórmula da área e igualo com a expressão para A obtida pela P.G.:
Primeiro escrevo a área segundo a P.G.:
A = 64 b.
Pela fórmula da área, substituindo h=8b:
A = \tfrac{1}{2} b \cdot h = \tfrac{1}{2} b \cdot (8b).

Passo 6

Simplifico a expressão do passo anterior:
\tfrac{1}{2} b \cdot (8b) = \tfrac{8}{2} b^{2} = 4 b^{2}.
Portanto a igualdade entre as duas expressões de A é
64 b = 4 b^{2}.

Passo 7

Resolvendo a equação 64 b = 4 b^{2}. Como a base de um triângulo não pode ser zero, b\neq 0, podemos dividir ambos os lados por b:
64 = 4 b.
Agora isolamos b:
b = \frac{64}{4} = 16.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check): com b=16 temos h=8b=8\cdot16=128 e A=b\cdot64=16\cdot64=1024. Pela fórmula da área:
\tfrac{1}{2}\cdot16\cdot128 = 8\cdot128 = 1024,
portanto tudo bate certinho.

Resposta

\text{base}=16

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